湖北省荆门市京山县曹武镇中学2022年高三数学理期末试题含解析

湖北省荆门市京山县曹武镇中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项是 A．是区间上的减函数，且 B．是区间上的增函数，且 C．是区间上的减函数，且 D．是区间上的增函数，且 参考答案： A 2. 已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（   ） A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 参考答案： D 【分析】 根据题意得到，，画出函数图像，可知切线方程过点，由切线的几何意义得到：，进而得到结果. 【详解】 由题意得，，则，易知直线过定点，如图，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点， ∴，则切线方程过点， ∴， 即，则， ∴. 故选D. 【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论． 3. （理）若向量=（1,1,x）, =（1,2,1）,  =（1,1,1）,满足条件=—2，则=（    ）     A．               B．2                C．             D．—2 参考答案： B 4. 对于函数则下列正确的是    （    ）     A．该函数的值域是[－1，1]     B．当且仅当时，该函数取得最大值1     C．当且仅当  D．该函数是以π为最小正周期的周期函数 参考答案： C 5. 在等差数列中，若，则的值为（    ）    A．                  B．－1                  C．1                     D．不存在 参考答案： D 本题利用等差数列的性质，若，则。由，结合已知，得，因此，从而，故选择D。 6. 设=（   ） （A）  （B）（－1，1）（C）  （D） 参考答案： D 7. 在复平面内，复数对应的点位于 第一象限    第二象限    第三象限    第四象限 参考答案： B 试题分析：由于=1+4i-4=-3+4i,故复数对应的点是(-3,4)在第二象限， 故选：B． 考点：复数的概念及运算. 8. 将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（   ）   参考答案： D 点在左侧面的投影为正方形，在左侧面的投影为斜向下的正方形对角线，在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选D.   9. 已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则常数的值为 A．           B．            C．           D． 参考答案： D 10. 已知公差不为零的等差数列{an}，若a5，a9，a15成等比数列，则等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合． 【分析】设出等差数列的公差，由a5，a9，a15成等比数列得到a9和公差的关系，则的值可求． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0）， 由a5，a9，a15成等比数列，得， 即， ∴a9=12d． 则a15=a9+6d=12d+6d=18d． ∴=． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在边长为2的正三角形中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E。若在这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是        。 参考答案： 略 12. 一次研究性课堂上，老师给出函数，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题： 甲：函数为偶函数； 乙：函数； 丙：若则一定有 你认为上述三个命题中正确的个数有             个 参考答案： 2 13. 已知集合,则        参考答案： 14. 已知角的终边上有一点(-1，2)，则=____________． 参考答案： 略 15.  设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=2，且为实数，则|α|=      ．   参考答案： 2 解：设α=x+yi，(x，y∈R)，则|α－β|=2|y|．∴y=±．     设argα=θ，则可取θ+2θ=2π，(因为只要求|α|，故不必写出所有可能的角)．θ=π，于是x=±1．|α|=2． 16. 已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，则?=　　． 参考答案： 6 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【解答】解：如图所示， 菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°， ∴∠C=120°， ∴BD2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12， ∴BD=2， 且∠BDC=30°， ∴?=||×||×cos30°=2×2×=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，是基础题目． 17. 下列命题是真命题的序号为：       ▲        ①定义域为R的函数，对都有，则为偶函数 ②定义在R上的函数，若对，都有，则函数的图像关于中心对称 ③函数的定义域为R，若与都是奇函数，则是奇函数 ④函数的图形一定是对称中心在图像上的中心对称图形。 ⑤若函数有两不同极值点，若，且，则关于的方程的不同实根个数必有三个 参考答案： ③④⑤ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数． （1）求函数的零点； （2）当时，求证：在区间上单调递减； （3）若对任意的正实数，总存在，使得，求实数的取值范围． 参考答案： （1）①当时，函数的零点为； ②当时，函数的零点是； ③当时，函数无零点； （2）当时，，令 任取，且， 则 因为，，所以，，从而 即故在区间上的单调递减 当时， 即当时，在区间上单调递减； （3）对任意的正实数，存在使得，即， 当时， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 又由于，，所以． 19. （本小题满分14分）         已知函数的定义域为R，对任意的、都满足，当    （I）试判断并证明的奇偶性；    （II）试判断并证明的单调性；    （III）若均成立，求实数m 的取值范围。 参考答案： （I）略为奇函数，    （II）略在R上为增函数    （III）     20. 已知等差数列，公差大于，且是方程的两根，数列前项和． （Ⅰ）写出数列、的通项公式； （Ⅱ）记，求证：． 参考答案： （Ⅰ）由题意得  所以 或         ……………2分        又因为等差数列的公差大于零，所以不合题意，舍去．       由，得．       ．       ………………………………………4分 由，得       ……………………5分 当，      ……………7分       ……………………………………………8分 ．      ……………………………………………………………9分 （Ⅱ），      ………………………………………10分         ．      …………12分    ．           ……………………………………14分     21. 共享单车是值企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租车单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表:   租用单车数量x(千辆) 2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本y(元) 3.2 2.4 2 1.9 1.7   根据以上数据，研究人员分别借助甲乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程， 方程甲，方程乙：. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务： ①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：称为相应于点的残差（也叫随机误差））；     租用单车数量（千辆） 2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7 模型甲 估计值   2.4 2.1   1.6 残差   0 -0.1   0.1 模型乙 估计值   2.3 2 1.9   残差   0.1 0 0     ②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好； （2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是改公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入8.4元；投放1万辆时，该公式平均一辆单车一天能收入7.6元，问该公司应投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中你好效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本） 参考答案： 22. （14分）已知函数 f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0） （Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值： （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）在（I）的条什下，若对职?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得； （Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论； （Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对?x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，即求f（x）min≥k2+6k恒成立． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分 ∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行， ∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分 解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分 （Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分 ①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0， 当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0， ∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分 ②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分 ③当a＞1时，2a＞a+1， ∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0， ∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣