贵州省贵阳市开阳县第四中学高二数学理上学期期末试卷含解析

贵州省贵阳市开阳县第四中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若| PF1|=9，则| PF2|等于（  ） A．1             B．17       C.1或17         D．以上答案均不对 参考答案： B 根据双曲线的定义得到 根据双曲线的焦半径的范围得到 故结果为17. 故答案为：B。   2. 展开式中系数最大的项为               （   ） A.第4项    B.第5项    C.第7项       D.第8项 参考答案： B 略 3. 已知函数f（x）=sin（2x+）（x∈R），下面结论错误的是（　　） A．函数f（x）的最小正周期为π B．函数f（x）是偶函数 C．函数f（x）的图象关于直线对称 D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数 参考答案： C 【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性． 【分析】函数=﹣cos2x分别求出的周期、奇偶性、单调区间、对称中心，可得A、B、D都正确，C错误． 【解答】解：对于函数=﹣cos2x，它的周期等于，故A正确． 由于f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x），故函数f（x）是偶函数，故B正确． 令，则=0，故f（x）的一个对称中心，故C错误． 由于0≤x≤，则0≤2x≤π， 由于函数y=cost在[0，π]上单调递减 故y=﹣cost在[0，π]上单调递增，故D正确． 故选C． 4. 设定点动点满足条件（为大于0的常数），则点的轨迹是（     ） A.椭圆             B.线段           C.椭圆或线段        D.不存在 参考答案： C 5. 下列命题是真命题的是(       ) A、“若，则”的逆命题；  B、“若，则”的否命题； C、若，则；                D、“若，则”的逆否命题   参考答案： D 6. 与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为(   ) A.     B.     C.     D. 参考答案： D 7. 一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 参考答案： B 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论． 【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）； 假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的； 所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯． 故选B． 8. 椭圆＋＝1的离心率为(　　)       A.         B.       C.     D. 参考答案： D 9. 在△ABC中，a=2，b=2，∠B=45°，则∠A=(     ) A．30°或120° B．60° C．60°或120° D．30° 参考答案： C 考点：正弦定理． 专题：解三角形． 分析：由题意和正弦定理求出sinA的值，再由内角的范围和边角关系求出角A的值． 解答： 解：由题意知，a=2，b=2，∠B=45°， 由正弦定理得，， 则sinA===， 因为0＜A＜180°，且a＞b，所以A=60°或120°， 故选：C． 点评：本题考查正弦定理，内角的范围，以及边角关系，属于中档题和易错题． 10. 名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有(   ) A     B     C      D  参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若z是复数，|z ＋2－2i|=2,则|z＋1－i|＋|z|的最大值是                   ． 参考答案： 3＋4 12. 变量x与变量y之间的一组数据为： x 2 3 4 5 y 2.5 m 4 4.5   y与x具有线性相关关系，且其回归直线方程为，则m的值为_____． 参考答案： 3 【分析】 先由数据计算出，代入回归直线方程可得，即可得到结论． 【详解】∵回归直线方程为0.7x+1.05， 又∵3.5，且回归直线过样本中心点（， 将3.5代入0.7x+1.05，计算得到3.5， ∴m＝4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查回归方程的应用，根据回归方程过样本中心是解决本题的关键．比较基础． 13. 已知为坐标原点，，，，若点在直线上运动，则的最小值为   ▲    . 参考答案： 略 14. 已知，，则=________． 参考答案： －26    15. 一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是  参考答案： 16. 若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为                 . 参考答案： 略 17. 在空间四边形ABCD中，BC = AD，E、F、M、N分别是AB、CD、BD、AC的中点，则EF与MN的夹角等于______________。 参考答案： 90° 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x平行，求实数a的值及该切线方程； （Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出导函数，利用切线方程斜率关系求出a，然后求解切线方程． （Ⅱ）解1：通过函数的导数与函数的单调性关系求出函数的极大值，即可得到a的范围． 解2：当a≥0时，验证不符题意，当a＜0时，通过函数的导数与单调性的关系，求出f（x）的最大值然后求解a的取值范围． 【解答】（本小题12分） （Ⅰ）解：，x＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由已知可得f'（1）=1+a=2，解得a=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为f（1）=1，所以在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）解1：若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤1成立，即成立．﹣﹣﹣ 设，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，令g'（x）=0，解得x=e2， 则g'（x），g（x）的情况如下：       x （0，e2） e2 （e2+∞） g'（x） ﹣ 0 + g（x） ↘ 极大值 ↗ 所以g（x）的最小值为g（e2）=﹣e﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以，依题意只需实数a满足a≤﹣e﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 故所求a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解2：当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞） 又因为，所以不符题意，舍．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当a＜0时，令f'（x）=0，得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以f'（x），f（x）随x的变化如下表所示： x f'（x） + 0 ﹣ f（x） ↗   ↘ 所以f（x）的最大值为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以，依题意只需即可，解得a≤﹣e﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 19. 如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别是BC，AC的中点．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2，PA=． （1）求证：平面ABC⊥平面PED； （2）求AC与平面PBC所成的角； （3）求平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【分析】（1）根据AB，BC，AC边的长度容易得到BC⊥AB，E，D都是中点，从而DE∥AB，这便得到BC⊥DE，而由PB=PC，D为BC边中点，从而便得到BC⊥PD，从而由线面垂直的判定定理即得BC⊥平面PED； （2）取PD中点F，连接EF，CF，则∠ECF是直线AC和平面PBC所成角，由此能求出直线AC与平面PBC所成角． （3）以D为原点，分别以DC，DE为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值． 【解答】证明：（1）∵PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2，PA=， ∴AB2+BC2=AC2； ∴BC⊥AB； D，E分别是BC，AC中点； ∴DE∥AB； ∴BC⊥DE； 又PB=PC，D是BC中点； ∴BC⊥PD，DE∩PD=D； ∴BC⊥平面PED； 解：（2）PA=，PC=2，AC=4， ∴由余弦定理cos∠PCA=， 在△PCE中，PC=2，CE=2， ∴由余弦定理得PE=1，DE=1，∴PD=1； ∴△PDE为等边三角形； ∴如图，取PD中点F，连接EF，CF，则：EF⊥PD； 又BC⊥平面PED，EF?平面PED； ∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D； ∴EF⊥平面PBC； ∴∠ECF是直线AC和平面PBC所成角； EF=，CE=2； ∴sin∠ECF===， ∴直线AC与平面PBC所成角为arcsin． （3）以D为原点，分别以DC，DE为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B（﹣，0，0），C（，0，0），E（0，1，0），A（﹣，2，0）， 设P（0，y，z），则由PC=2，PA=， 得，解得y=，z=，∴P（0，）， 设平面PAB的法向量=（x1，y1，z1）， ∵=（0，2，0），=（）， ∴，取x1=1，得=（1，0，﹣2）， 平面PED的法向量为=（1，0，0）， ∴cos＜＞ =， ∴平面PED与平面PAB所成锐二面角的余弦值为． 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意线面垂直的判定定理，以及余弦定理，线面垂直的性质，线面角的概念及找法的合理运用． 20. 已知椭圆C：的离心率为，为焦点是的抛物线上一点，H为直线上任一点，A，B分别为椭圆C的上，下顶点，且A，B，H三点的连线可以构成三角形. （1）求椭圆C的方程； （2）直线HA，HB与椭圆C的另一交点分别交于点D，E，求证：直线DE过定点. 参考答案