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山西省临汾市吉县第一中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )
A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96
参考答案:
D
2. 若焦距为的双曲线的两条渐近线互相垂直,则此双曲线的实轴长为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 若对于函数图象上任意一点处的切线,在函数的图象上总存在一条切线,使得,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
求得f(x)的导数,可得切线l1的斜率k1,求得g(x)的导数,可得切线l2的斜率k2,运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,结合正弦函数的值域和条件可得,?x1,?x2使得等式成立,即(,0)?[﹣1|a|,﹣1|a|],解得a的范围即可.
【详解】解:函数f(x)=1n(x+1)+x2,
∴f′(x)2x,( 其中x>﹣1),
函数g(x)asincosxasinx﹣x,
∴g′(x)acosx﹣1;
要使过曲线f(x)上任意一点的切线为l1,
总存在过曲线g(x)=上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,
则[2x1)(acosx2﹣1)=﹣1,
acosx2﹣1,
∵2x12(x1+1)﹣2≥22
∵?x1,?x2使得等式成立,
∴(,0)?[﹣1|a|,﹣1|a|],
解得|a|,
即a的取值范围为a或a.
故选:A.
【点睛】本题考查导数的应用:求切线的斜率,考查两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,以及转化思想的运用,区间的包含关系,考查运算能力,属于中档题.
4. 已知半径为2,圆心在x轴的正半轴上的圆C与直线3x+4y+4=0相切,则圆C的方程为( ).
A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0
C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0
参考答案:
D
5. 是虚数单位,则复数的虚部等于( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在( )
A.大前提 B.小前提 C.推理过程 D.没有出错
参考答案:
A
【考点】F6:演绎推理的基本方法.
【分析】要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提,小前提和结论及推理形式是否都正确,根据这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.
【解答】解:∵任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0,
其中大前提是:任何实数的平方大于0是不正确的,
故选A.
7. 数列{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a6=b7,则有
A.a3+a9<b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10
C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9与b4+b10的大小不确定
参考答案:
B
8. 集合M={1,2,(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i},N={3,10},且M∩N≠?,则实数m的值为.
A.-2 B.-2或4 C.-2或-3 D.-2或5 ( )
参考答案:
C
略
9. 直线l: x+y+3=0的倾斜角α为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
参考答案:
C
【考点】直线的倾斜角.
【分析】由题意可得,直线的斜率tanα=﹣,再由0°≤α<180°,可得 α的值.
【解答】解:由于直线l: x+y+3=0的倾斜角为α,则直线的斜率tanα=﹣,
再由0°≤α<180°,可得 α=120°,
故选C.
10. 双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是( )
A.2 B. C.4 D.
参考答案:
C
【考点】双曲线的标准方程.
【专题】计算题.
【分析】将双曲线方程化为标准方程,求出实轴长.
【解答】解:2x2﹣y2=8即为
∴a2=4
∴a=2
故实轴长为4
故选C
【点评】本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在上是增函数,实数的范围是★★★★★★.
参考答案:
略
12. 甲、乙、丙三人中只有一人做了好事,他们各自都说了一句话,而且其中只有一句真话.甲说:是乙做的.乙说:不是我做的.丙说:不是我做的.则做好事的是 .(填甲、乙、丙中的一个)
参考答案:
丙
假如甲说的是对的,则乙说了假话,丙说的是真话,与条件不符;假如乙说的是真话,则甲说的是假话,丙说的也是假话,符合条件;假如丙说的是真话,则甲乙二人中必有一人说的是真话,与条件不符,所以乙说的是真话,是丙做的好事.
故答案为丙.
13. 不等式恒成立,则的最小值为 ;
参考答案:
略
14. 某商品一件的成本为元,在某段时间内,若以每件元出售,可卖出件,当每件商品的定价为 元时,利润最大.
参考答案:
15. 在直三棱柱中,底面ABC为直角三角形,,. 已知G与E分别为和的中点,D与F分别为线段和上的动点(不包括端点). 若,则线段的长度的最小值为 。
参考答案:
建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,则(),,,()。所以,。因为,所以,由此推出 。又,,从而有 。
16. 函数的值域是
参考答案:
17. 在的二项展开式中,第4项的系数为 .
参考答案:
﹣40
【考点】DC:二项式定理的应用.
【分析】由通项公式求得第4项,即可求得第四项的系数.
【解答】解:在的二项展开式中,由通项公式求得第4项为 T4=?(4x2)?=,
故第4项的系数为﹣40,
故答案为﹣40.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,,.
(1)求与的夹角和的值;
(2)设,,若与共线,求实数m的值.
参考答案:
(1)与的夹角为,;(2).
【分析】
(1)根据求出,根据数量积关系求出夹角,求出模长;
(2)根据共线定理必存在使得:,求解参数.
【详解】(1),,,
,
,
所以,
所以与的夹角为,
;
(2)由(1)可得:与不共线,
,,若与共线,
则必存在使得:,
所以,
得.
【点睛】此题考查向量的数量积运算,根据数量积关系求向量夹角和模长,利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.
19. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(1)证明AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
参考答案:
(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,
∵AB=,=,∴是正三角形,
∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面,
∴AB⊥;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,
又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,
∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,
有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),== (-1,0,),=(0,-,),
设=是平面的法向量,
则,即,可取=(,1,-1),
∴=,
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
略
20. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点A到平面PBC的距离.
参考答案:
考点: 点、线、面间的距离计算;空间中直线与平面之间的位置关系.
专题: 空间位置关系与距离;立体几何.
分析: (1),要证明PC⊥BC,可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面,由PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,容易证明BC⊥平面PCD,从而得证;
(2),有两种方法可以求点A到平面PBC的距离:
方法一,注意到第一问证明的结论,取AB的中点E,容易证明DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等,而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍,由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD,交线是PC,所以只求D到PC的距离即可,在等腰直角三角形PDC中易求;
方法二,等体积法:连接AC,则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等,而三棱锥P﹣ACB体积易求,三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求,其高即为点A到平面PBC的距离,设为h,则利用体积相等即求.
解答: 解:(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC.
由∠BCD=90°,得CD⊥BC,
又PD∩DC=D,PD、DC?平面PCD,
所以BC⊥平面PCD.
因为PC?平面PCD,故PC⊥BC.
(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:
易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等.
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.
由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,
因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F.
易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于.
(方法二)等体积法:连接AC.设点A到平面PBC的距离为h.
因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.
从而AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.
由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P﹣ABC的体积.
因为PD⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,所以PD⊥DC.
又PD=DC=1,所以.
由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积.
由VA﹣PBC=VP﹣ABC,,得,
故点A到平面PBC的距离等于.
点评: 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.
21. 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前10项和S10=55.
(1)求an和bn;
(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.
参考答案:
略
22. 设函数
(Ⅰ)若函数在点处的切线方程为,求实数k与a的值;
(Ⅱ)若函数有两个零点,求实数a的取值范围,并证明:.
参考答案:
(1)因为,所以
又因为,所以,即……3分
(2)因为,所以,令,
则,
令,解得,令,解得,
则函数在上单调递增,在上单调递减,所以,
又当时,,当时,,
画出函数的图象,要使函数的图象与有两个不同的交点,则,即实数的取值范围为.……8分
由上知,,不妨设,则,
要证,只需证,因为,且函数在上单调递减,所以只需证,由,所以只需,
即证,
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