福建省龙岩市南安第二中学2022年高二数学理期末试卷含解析

福建省龙岩市南安第二中学2022年高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为（   ）     A．         B.            C.            D. 参考答案： D 略 2. 正三棱柱ABC－A1B1C1中，若,则AB1与C1B所成角的大小是（   ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        A、               B、 C、           D、 参考答案： B 3. 已知椭圆的离心率为过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则（    ） . . . . 参考答案： B 略 4. 直线的倾斜角为（   ）         A.      B.       C.        D.    参考答案： C 略 5. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为                             参考答案： B 该几何体是底面直径和母线都为的圆锥，其高为，体积为，故选. 6. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（    ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 参考答案： A 【分析】 先根据约束条件画出可行域，然后求对应三角形的面积。 【详解】如图：作出可行域： 则不等式组表示的平面区域面积为 故选：A 【点睛】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组。 7. 已知在数轴上0和3之间任取一实数x，则使“log2x＜1”的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】几何概型． 【分析】以长度为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论． 【解答】解：由log2x＜1，得0＜x＜2，区间长为2， 区间[0，3]长度为3， 所以所求概率为． 故选：A． 【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对数的性质是解决本题的关键． 8. 一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心的轨迹是 （A）圆　　　  （B）椭圆       （C）双曲线的一支      （D）抛物线 参考答案： C 略 9. 已知命题，则是     A.   B.   C.   D. 参考答案： A 10. 已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，则的值为 （A）       （B）       （C）2        （D）4 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图是甲，乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图，则乙的成绩的中位数是     ，甲乙两人中成绩较为稳定的是          . 参考答案： 87；甲。 12. 我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积　　． 参考答案： a2hπ 【考点】类比推理． 【分析】确定AC2﹣BC2=a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积． 【解答】解：y=m，是一个圆环其面积 S=π（AC2﹣BC2） ∵?， 同理 ∴AC2﹣BC2=a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积为a2hπ． 故答案为：a2hπ． 13. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为，若，，则数列{an}的通项公式为        ． 参考答案： 由,得a1=S1=1， 由， 得4=(+)2， 又an>0， ∴2Sn=+,即Sn=an+1， 当n≥2时,=an， 两式作差得：an=an+1?an,即=2， 又由S1=1, ,求得a2=1， ∴当n≥2时,an=. 验证n=1时不成立， ∴，   14. 直线关于直线对称的直线方程为______            __． 参考答案： 15. 一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其下底在轴上，在轴上，底角为，腰和上底均为1，则此平面图形的实际面积是_____. 参考答案： 16. “若，则”是                     。（填“真命题”或“假命题”） 参考答案： 假命题  略 17. （概率）抛掷一枚均匀的正方体骰子，点数为3的倍数的概率为        .   参考答案： 1/3 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）（Ⅰ）一动圆与圆相外切，与圆相内切求动圆圆心的轨迹曲线E的方程，并说明它是什么曲线。 （Ⅱ）过点作一直线与曲线E交与A,B两点，若，求此时直线的方程。 参考答案： 19. 某高中尝试进行课堂改革.现高一有A，B两个成绩相当的班级，其中A班级参与改革，B班级没有参与改革.经过一段时间，对学生学习效果进行检测，规定进步超过10分的为进步明显，得到如下列联表.   进步明显 进步不明显 合计 A班级 15 30 45 B班级 10 45 55 合计 25 75 100   （1）是否有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关？ （2）按照分层抽样的方式从A，B班中进步明显的学生中抽取5人做进一步调查，然后从5人中抽2人进行座谈，求这2人来自不同班级的概率. 附：（其中）. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879     参考答案： （1）没有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.（2） 【分析】 （1）计算出的观测值，并根据临界值表找出犯错误的概率，即可对题中的结论进行判断； （2）先计算出班有人，分别记为、、，班有人，分别记为、，列举出所有的基本事件，确定基本事件的总数，并确定事件“其中人来自于不同班级”所包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率。 【详解】（1）的观测值 ， 所以没有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关； （2）按照分层抽样，班有3人，记为，班有2人，记为，则从这5人中抽2人的方法有，共10种. 其中2人来自于不同班级的情况有6种，所以所求概率是 【点睛】本题第（1）问考查独立性检验，要理解临界值表的含义，第（2）问考查古典概型概率的计算，关键要列举出基本事件，考查运算求解能力，属于中等题。 20. 证明：不等式（m≥2） 参考答案： 【考点】不等式的证明． 【专题】计算题；规律型；转化思想；推理和证明． 【分析】移项将不等式化为＜，利用分析法证明即可． 【解答】证明：要证不等式（m≥2）成立， 需证＜， 需证（）2＜（）2， 即证＜ 需证（m+1）（m﹣2）＜m2﹣m， 需证m2﹣m﹣1＜m2﹣m， 只需证﹣1＜0 因为﹣1＜0显然成立， 所以原命题成立． 【点评】本题考查的知识点是不等式的证明，考查的知识点是分析法证明． 21. 参考答案： 22. (本小题满分16分) (文) ⑴证明：当a＞1时，不等式成立. ⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并说明理由；若不能，也请说明理由. ⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明. 参考答案： （1）证：∵,……………………………3分 ∵a＞1，∴＞0，            ∴原不等式成立                             ………………………………………5分   （2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a11恒成立，……………………………………7分   ∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a11       ………………………………………8分   （3）根据（1）（2）的证明，可推知： 结论1: 若a＞0且a11，n为正整数(或n>0),则   ……………10分 证: ∵             ………………………11分 ∵a-1与a2n-1同号对任何a＞0且a11恒成立 ∴(a-1)(a2n-1)>0 ∴                                 ………………………12分 结论2: 若a＞0且a11，m＞n＞0，则   …………………………………11分 证：左式-右式=………14分 若a＞1，则由m＞n＞0Tam-n＞0,am+n＞0T不等式成立； 若0＜a＜1，则由m＞n＞0T0＜am-n＜1, 0＜am+n＜1T不等式成立 ∴                                      …………………16分 【题文】(理) 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a、b、c、dR)，且函数f(x)的图象关于原点对称，其图象x＝3处的切线方程为8x－y－18＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在区间，使得函数f(x)的定义域和值域均为？若存在，求出这样的一个区间；若不存在，则说明理由； (3)若数列｛an｝满足：a1≥1，an+1≥，试比较＋＋＋…＋与1的大小关系，并说明理由. 【答案】(理)  (1)∵f(x)的图像关于原点对称， ∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，    即2bx2＋2d≡0，∴b＝d＝0……………………2分 又f(x)的图像在x＝3处的切线方程为8x－y－18＝0，即 y－6＝8(x－3)， ∴f '(3)＝8，且f(3)＝6, 而f(x)＝ax3＋cx，∴f '(x)＝3ax2＋c                                    ……………………4分 解得   故所求的解析式为f(x)＝x3－x            ……………5分 (2)解　，得x＝0或x＝± ……………………6分 又f '(x)＝x2－1，由f '(x)＝0得x＝±1， 且当x∈[－，－1]或x∈[1，]时，f '(x)>0； 当x∈[－1，1]时 f '(x)< 0 ∴f(x)在[－，－1]和[1，]上分别递增；在[—1,1]递减. ∴f(x)在[－，]上的极大值和极小值分别为f(－1)＝ ，f(1)＝－ ………8分 而－<－<　 < 故存在这样的区间，其中一个区间为[－，]  ……………………10分 (3)由(2)知f ' (x)＝x2－1，∴an+1≥(an＋1)2－1 而函数y＝(x＋1)2—1＝x2＋2x在[1,+∞)单调递增， ∴由al≥1，可知，a2≥(al＋1)2—1＝22—l；进而可得a3≥(a2＋1)2—1≥23—1；… 由此猜想an≥2n—1.                                     …………………12分 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，al≥1＝21－1，结论成立 ②假设n＝k时有ak≥2k－1， 则当n＝k＋1时， 由f(x)＝x2＋2x在[1,+∞)上递增可知， ak+1≥