山东省淄博市周村区第一职业高级中学2022年高二数学理测试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若幂函数 的图像经过原点，则m的值为（ ）
A. 1或3 B. 2或3 C. 3 D. 2
参考答案：
C
【分析】
利用幂函数的图像与性质即可得到结果.
【详解】∵幂函数 的图像经过原点，
∴即
故选：C
【点睛】本题考查幂函数的图像与性质，考查运算能力，属于基础题.
2. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
3. 已知二次函数y＝ax2＋(a2＋1)x在x＝1处的导数值为1，则该函数的最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
4. 函数的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
参考答案：
B
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先对函数求导，然后由y’＞0可得x的范围，从而可得函数的单调递增区间．
【解答】解：f′（x）=a?，（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，
故f（x）在（﹣1，1）递增，
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系及应用，导数法是求函数的单调区间的基本方法，一定要熟练掌握．
5. 已知复数z=x+yi（x，y∈R），且|z﹣2|=，则的最大值为（ ）
A． B． C．2+ D．2﹣
参考答案：
C
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】复数z=x+yi（x，y∈R），且|z﹣2|=，可得（x﹣2）2+y2=3．设圆的切线l：y=kx﹣1，利用圆的切线的性质与点到直线的距离公式可得k2﹣4k﹣2=0，解出即可．
【解答】解：∵复数z=x+yi（x，y∈R），且|z﹣2|=，
∴=，
∴（x﹣2）2+y2=3．
设圆的切线l：y=kx﹣1，
则，
化为k2﹣4k﹣2=0，
解得．
∴的最大值为2+．
故选：C．
【点评】本题考查了复数模的计算公式、圆的标准方程及其切线的性质、点到直线的距离公式、斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6. 设函数f（x）=|2x﹣1|，函数g（x）=f（f（x））﹣loga（x+1），（a＞0，a≠1）在上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，） B．（1，2） C．（，2） D．（2，+∞）
参考答案：
C
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】作出两个函数的图象，结合对数函数的单调性，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）=|2x﹣1|=，
∴f（f（x））=|2|2x﹣1|﹣1|=
分别画出y=f（f（x））与y=loga（x+1）的图象，
∵y=loga（x+1）的图象是由y=logax的图象向左平移一个单位得到的，且过点（0，0），
当x=1时，y=f（f（1））=1，
此时loga（1+1）=1，解得a=2，有4个交点，
当x=时，y=f（f（））=1，
此时loga（+1）=1，解得a=，有2个交点，
综上所述a的取值范围为（，2）
故选：C．
7. 用秦九韶算法求n 次多项式，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（ ）
A． B．n,2n,n C． 0,2n,n D． 0,n,n
参考答案：
D
8. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
9. 不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D．无法确定
参考答案：
C
10. 已知i是虚数单位，则=（ ）
A．﹣i B． +i C． +i D．﹣i
参考答案：
B
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．
【解答】解： =．
故选：B．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 复数的共轭复数是 。
参考答案：
略
12. 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：
①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；
③前n项和为可以表示为Sn＝nan－d；
④若d>0，则Sn一定有最大值．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
参考答案：
①②③
略
13. 已知, 则不等式的解集___ _ ____.
参考答案：
14. 双曲线的焦点是 ；离心率为 ；渐近线为 ．
参考答案：
（0，5），（0，﹣5）,, y=x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的焦点坐标，离心率以及局限性方程即可．
【解答】解：双曲线，可得a=4，b=3，c=5，则双曲线的焦点是（0，5），（0，﹣5）；
离心率为：e=；
渐近线方程为：y=x；
故答案为：（0，5），（0，﹣5）；；y=x．
15. 圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 .
参考答案：
16. 在的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则= .
参考答案：
1
17. 我们把离心率e=的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）的图象，给出以下几个说法：
①双曲线x2﹣=1是黄金双曲线；
②若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为 _________ ．
参考答案：
①②③④
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
参考答案：
19. 在四棱锥中，平面，，，且，
为线段上一点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
(Ⅱ）若且，求证：平面，
并求四棱锥的体积．
参考答案：
20. （本小题满分14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
参考答案：
（1）根据题意有......3分（0
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