江苏省扬州市文津中学高三数学理上学期期末试题含解析

江苏省扬州市文津中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位                       B．向右平移个单位 C. 向左平移个单位                       D．向右平移个单位 参考答案： C 由题意知： 把函数的图象向左平移个单位，可得：. 故选：C   2. 若，当时，，若在区间内，有两个零点，则实数m的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 参考答案： D 3. （4分）（2012?安徽模拟）函数的图象大致是（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： C 4. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为 （A） （B）  （C）  （D） 参考答案： 答案：B. 解析：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点的概率为。 5. 我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（    ）日两马相逢 A.16           B. 12          C.9           D.8 参考答案： C 6. 给出下列三个等式：，， ，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（    ） A． B． C．   D． 参考答案： D 7. 若集合，，则（    ）   A．              B．   C．              D． 参考答案： A 略 8. 如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D 如图，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，，，． ∴，， ∴，， ∴，． 故选． 9. 已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】导数的运算；函数的图象． 【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断． 【解答】解：由f′（x）图象可知，函数f（x）先减，再增，再减， 故选：D． 10. 定义集合，，若则称集合A、B为等和集合。已知以正整数为元素的集合M，N是等和集合，其中集合，则集合N的个数有（     ） A．3              B．4              C．5              D．6 参考答案：   B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 参考答案： 40/3 略 12. 已知，那么的值为________． 参考答案： 略 13. 如图，PA⊥平面ABC，，，，，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B-EFC的体积为________． 参考答案： 【分析】 作于D，则，从而有，于有 【详解】作于D，则，∵平面，∴， ∴ 【点睛】本题考查立体几何体积求法，转化顶点，作高求体积，是计算三棱锥体积常用的一种方法，难度比较简单． 14. 已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，则的最小值为  　     ． 参考答案： 1 【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式． 【分析】根据题意，由f（x）的解析式分析f（x）与f（﹣x）的关系，可得函数f（x）为奇函数，又由f（4a）+f（b﹣9）=0，分析可得4a+b=9，对于，将其变形可得=（4a+b）（）=（5++），由基本不等式的性质分析可得的最小值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，对于函数， 则有=﹣=﹣f（x）， 则函数f（x）为奇函数， y=x+sinx的导数为y′=1+cosx≥0，函数y单调递增，又=1﹣在R上递增， 则f（x）在R上递增， 若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，必有4a+b=9， 则=（4a+b）（）=（5++）≥（5+4）=1； 即的最小值为1； 故答案为：1． 15. 已知、满足约束条件，若目标函数 的最大值为7,则的最小值为       。 参考答案： 7 16. 已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是_____________ 参考答案： 略 17. 已知两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是　　． 参考答案： [5，+∞） 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系． 【专题】平面向量及应用；直线与圆． 【分析】根据P在直线3x+4y+25=0上，设出点P的坐标，写出向量、；利用?=0得出方程，再由△≥0求出m的取值范围． 【解答】解：∵P在直线3x+4y+25=0上，设点P（x，）， ∴=（x+m，）， =（x﹣m，）； 又∠APB=90°， ∴?=（x+m）（x﹣m）+=0， 即25x2+150x+625﹣16m2=0； ∴△≥0， 即1502﹣4×25×（625﹣16m2）≥0， 解得m≥5，或m≤﹣5， 又m＞0，∴m的取值范围是[5，+∞）． 故答案为：[5，+∞）． 【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线； （2）设，证明：当时，； （3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：. 参考答案： （1）（2）见解析（3）见解析 【分析】 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程; (2)设函数，则，求出导数，判断单调性，即可得证； (3)设出函数的图象与x轴交于AB两点的横坐标，根据(2)的结论，和函数的单调性，即可证明结论. 详解】证明：. 解：（1）， 由解得， 有因为，所以切线为， 即. （2）令， 由， 且，则， 即在上单调递增， 所以，即成立. （3）证明：由， 所以当时，，即在上单调递增， 此时与轴至多有1个交点，不符合题意. 当时，有解得或（舍）， 此时在上单调递增，上单调递减， 所以. 不妨设，，则必有， 由（2）可知， 且， 所以， 即， 所以. 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的単调性的运用，考查运算能力，属于中档题. 19. （15分）△ABC中，角A的对边长等于2，向量m=，向量n=. （1）求m·n取得最大值时的角A；     （2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值. 参考答案： 解析：（1）m·n＝2－. …………………3分 因为 A＋B＋C，所以B＋C－A， 于是m·n＝＋cosA＝－2＝－2.………5分 因为，所以当且仅当＝，即A＝时，m·n取得最大值. 故m·n取得最大值时的角A＝.                       …………………………7分 （2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c， 由余弦定理，得 b2＋c2－a2＝2bccosA，                 ……………………9分 即bc＋4＝b2＋c2≥2bc，                              ……………………… 11分 所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号.                ………………… 12分 又S△ABC＝bcsinA＝bc≤. 当且仅当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积最大为.        ………………………15分 20. 已知如图几何体，正方形和矩形所在平面互相垂直,,为的中点,。 (Ⅰ）求证: ； (Ⅱ）求二面角 的大小。 参考答案： （I）连结交于,连结    因为为中点，为中点, 所以, 又因为, 所以;                         (II)因为正方形和矩形所在平面互相垂直, 所以 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图取=1   ,,,, 设平面的法向量为 = (x ,y , z ),            设平面的法向量为 = (x ,y , z ),                                         所以二面角 的大小为。    21. 已知函数f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）． （Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞﹣ln2． 参考答案： （Ⅰ）解：∵f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）， ∴f′（x）=ex﹣m﹣， 由x=1是函数f（x）的极值点得f′（1）=0， 即e1﹣m﹣1=0，∴m=1．　　　       …（2分） 于是f（x）=ex﹣1﹣ln（2x），f′（x）=ex﹣1﹣， 由f″（x）=ex﹣1+＞0知 f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且f′（1）=0， ∴x=1是f′（x）=0的唯一零点．          …（4分） 因此，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减； x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增， ∴函数f（x） 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．  …（6分） （Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（0，+∞）时，ex﹣m≥ex﹣2， 又ex≥x+1，∴ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1．　   …（8分） 取函数h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），h′（x）=1﹣， 当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，得函数h（x）在x=1时取唯一的极小值即最小值为h（1）=﹣ln2．　…（12分） ∴f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）≥ex﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2， 而上式三个不等号不能同时成立，故f（x）＞﹣ln2．…（14分） 略 22. 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元,每生产一千件,需要另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)= (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式. (2)年生产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大? 参考答案： 解: (1)当010时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x. ∴年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式为 W= (2)当00?010时,W=98-(+2.7x)≤98-2=38,仅当x=时取“=”,综上可知,当年产量为9千件时,该公司这一