广西壮族自治区贵港市港区中学高二数学理期末试卷含解析

广西壮族自治区贵港市港区中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题p：x＞2，命题q：x2＋x－2＞0，则命题p是命题q成立的  (　 　) A．必要不充分条件                   B．充分不必要条件 C．充要条件                          D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 2. 已知满足在上恒成立，且 ， 则 A.               B.                      C.                D. 参考答案： B 略 3. 已知，，则（   ） A. -8 B. 8 C. -4 D. 4 参考答案： C 【分析】 直接利用平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以，故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是. 4. 已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＞﹣（x+1）f′（x），则 不等式f（x+l）＞（x﹣2）f（x2﹣5）的解集是（　　） A．（﹣2，3） B．（2，+∞） C．（，3） D．（，+∞） 参考答案： A 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】根据函数的单调性得到x+1＞x2﹣5＞0，解不等式即可． 【解答】解：∵f（x）＞﹣（x+1）f′（x）， ∴[（x+1）?f（x）]′＞0，故函数y=（x+1）?f（x）在（0，+∞）上是增函数， 由不等式f（x+1）＞（x﹣2）f（x2﹣5）得： （x+2）f（x+1）＞（x+2）（x﹣2）f（x2﹣5）， 即（x+2）f（x+1）＞（x2﹣4）f（x2﹣5）， ∴x+1＞x2﹣5＞0，解得：﹣2＜x＜3， 故选：A． 5. 直线:与直线:平行，则m的值为 A.2  　　       B.－3               　C.2或－3     　   D.－2或－3 参考答案： C 6. 设集合A={x|x2﹣5x+4＜0}，B={x||x﹣a|＜1}，则“a∈（2，3）”是“B?A”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据题意，先表示出集合A、B，进而分析可得：若“a∈（2，3）”，必有“B?A”，而若“B?A”，则“a∈（2，3）”不一定成立；由充分必要条件的定义，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，集合A={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}=（1，4）， B={x||x﹣a|＜1}=（a﹣1，a+1）， 若“a∈（2，3）”，可得1＜a﹣1＜2，3＜a+1＜4，必有“B?A”， 若“B?A”，则有，解可得2≤a≤3，“a∈（2，3）”不一定成立； 则“a∈（2，3）”是“B?A”的充分不必要条件； 故选：A． 7. 满足线性约束条件的目标函数的最大值是(   ） A．            B.         C．          D．   参考答案： C 略 8. (理)                    （      ） A.           B.             C.            D. 参考答案： B 9. 已知命题p、q，“为真”是“p为假”的   A．充分不必要条件           B．必要不充分条件   C．充要条件                 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 10. 过点A（﹣2，﹣4）作倾斜角为45°的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于点P1、P2，若|P1P2|2=|AP1|?|AP2|，则实数p的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设l的参数方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得出结论． 【解答】解：设l的参数方程为，代入抛物线方程整理得t2+（﹣2p﹣8）t+32+8p=0． ∴|AP1|?|AP2|=|t1?t2|=32+8p． 又|P1P2|2=（t1+t2）2﹣4t1t2=8p2+32p，|P1P2|2=|AP1|?|AP2|， ∴8p2+32p=32+8p，即p2+3p﹣4=0． ∴p=1． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. P为曲线C1：y=ex上一点，Q为曲线C2：y=lnx上一点，则|PQ|的最小值为　　． 参考答案： 【分析】考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离． 【解答】解：∵曲线y=ex与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称， 故可先求点P到直线y=x的最近距离d， 设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b， ∵y′=ex，由ex=1，得x=0， 故切点坐标为（0，1），即b=1， ∴d==， ∴丨PQ丨的最小值为2d=2×=． 故答案为：． 　 12. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD1的中点，点F在AB上．若EF⊥平面AB1C，则线段EF的长度等于　　． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】如图所示，由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1．可得AC⊥BD1，可得BD1⊥平面ACB1．由EF⊥平面AB1C，可得EF∥BD1，可得EF为△ABD1的中位线，即可得出． 【解答】解：如图所示． 由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD1． ∴AC⊥BD1， 同理可得BD1⊥AB1，又AC∩AB1=A， ∴BD1⊥平面ACB1． 又EF⊥平面AB1C， ∴EF∥BD1，又点E为AD1的中点， ∴点F为AB的中点， 而AB， ∴EF==×=． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中点题． 13. 在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则异面直线PC与AB所成角的大小是  ▲   ． 参考答案： 60°   14. 已知直线与直线 之间的距离是1，则m=   ▲_    参考答案： 2或-8 15. 已知垂直平行四边形所在平面，若，四边形一定 是             形.  ks*5u   参考答案： 菱形 略 16. 已知点A（0，﹣1），B（3，0），C（1，2），平面区域P是由所有满足=λ+μ（2＜λ≤m，2＜μ≤n）的点M组成的区域，若区域P的面积为6，则m+n的最小值为　　． 参考答案： 4+ 【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】设M（x，y），作出M点所在的平面区域，根据面积得出关于m，n的等式，利用基本不等式便可得出m+n的最小值． 【解答】解：设M（x，y），，； ∴，； 令，以AE，AF为邻边作平行四边形AENF，令，以AP，AQ为邻边作平行四边形APGQ； ∵； ∴符合条件的M组成的区域是平行四边形NIGH，如图所示； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴3≤（m+n﹣4）2； ∴； ∴m+n的最小值为． 故答案为：4+． 17. 方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为　　． 参考答案： 2x﹣y﹣2=0 【考点】IG：直线的一般式方程． 【分析】根据点向式方程计算即可 【解答】解：方向向量为，且过点A（3，4）的方程为=，即2x﹣y﹣2=0， 故答案为：2x﹣y﹣2=0． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为对数），求曲线截直线所得的弦长。 参考答案： 解：由可化为直角坐标方程 参数方程为（为对数）可化为直角坐标方程 19. 设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，，n∈N*． （1）求a2的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）在数列{bn}中，，求{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用递推关系即可得出； （2）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出； （3）利用“裂项求和”即可得出． 【解答】解：（1）∵，n∈N*． ∴当n=1时，， 又a1=1，∴a2=4． （2）∵，n∈N*． ∴①， ∴当n≥2时，② 由①﹣②，得 2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1）， ∵2an=2Sn﹣2Sn﹣1，∴2an=nan+1﹣（n﹣1）an﹣n（n+1）， ∴（n≥2）， 又，∴数列是以首项为，公差为1的等差数列． ∴，∴． （3）证明：由（2）知，， 则； ∴ 【点评】本题考查了数列的递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20. 已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512， （1）求展开式的所有有理项（指数为整数）． （2）求展开式中项的系数． 参考答案： 解：（1）         ∴，         ( r =0, 1, …，10 )         ∵Z，∴，6 有理项为，………………………… 6分    （2）∵，∴ 项的系数为 ……………………12分. 略 21. 下列命题错误的是(　　) A．三角形中至少有一个内角不小于60° B．四面体的三组对棱都是异面直线 C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点 D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数 参考答案： D 略 22. （1）求的值 （2）求 （3）求 参考答案： 解： （1） （2） （3）