资源描述
第1课时
进门测
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥，则A，B，C三点共线．( √ )
(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．( × )
(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．( × )
(4)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．( × )
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.( √ )
2、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，
∴||＝＝2，||＝＝4，
||＝＝6，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
3、已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
答案 D
解析 在△ABC中，由余弦定理可得AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC2，又·＝||·||·cos A＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以＋＝2，两边平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故选D.
4、若向量a，b满足|a|＝|2a＋b|＝2，则a在b方向上投影的最大值是( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 由题意得|2a＋b|2＝4|a|2＋4|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝16＋8|b|cos〈a，b〉＋|b|2＝4，则cos〈a，b〉＝＝－(＋)≤－2 ＝－，当且仅当|b|＝2时等号成立，所以向量a在向量b方向上投影的最大值是|a|cos〈a，b〉＝－.
5、平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．
答案 x＋2y－4＝0
解析 由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，
即x＋2y＝4.
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 向量在平面几何中的应用
命题点1 向量和平面几何知识的综合
例1 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.
(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
答案 (1) (2)5
解析 (1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，
又∵＝＋，
∴·＝(＋)·(－)
＝2－·＋·－2
＝||2＋||||cos 60°－||2
＝1＋×||－||2＝1.
∴||＝0，又||≠0，∴||＝.
(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.
则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，
＝(2，－y)，＝(1，a－y)，
则＋3＝(5,3a－4y)，
即|＋3|2＝25＋(3a－4y)2，
由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.
因此当y＝a时，|＋3|2取最小值25.
故|＋3|的最小值为5.
命题点2 三角形的“四心”
例2 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
答案 C
解析 由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
引申探究
1．在本例中，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？
答案 A
解析 由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．
2．在本例中，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则如何选择？
答案 D
解析 由条件，得＝λ(＋)，从而·＝λ(＋)
＝λ·＋λ·＝0，
所以 ⊥，
则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
命题点3 平面向量数量积与余弦定理
例3 在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD垂直BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，若·＝6，则BC等于( )
A．2 B．10
C．2 D．14
答案 A
解析 由题意，知DE＝AE，DF＝AF，
∵·＝||·||·cos∠EDF
＝||·||·
＝＝＝6，
∴||＝，∴BC＝2.
【同步练习】
(1)在△ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
(2)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC的面积为________．
答案 (1)A (2)1－
解析 (1)，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的角平分线．因为(＋)·＝0，所以∠BAC的角平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又·＝··cos∠BAC＝，
所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，
故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．
(2)cos∠BAC＝＝，
∴sin∠BAC＝，
∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC＝1－.
题型二 向量在解析几何中的应用
命题点1 向量与解析几何知识的综合
例4 (1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．
(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝___________.
答案 (1)2x＋y－3＝0 (2)±
解析 (1)∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(6，k－5)，且∥，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得k＝－2或k＝11.
由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.
(2)∵·＝0，∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
命题点2 轨迹问题
例5 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋)·(－)＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求·的最值．
解 (1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由(＋)·(－)＝0，
得||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，
化简得＋＝1.
∴点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)∵＝＋，＝＋，
又＋＝0.
∴·＝2－2＝x2＋(y－1)2－1
＝16(1－)＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16
＝－(y＋3)2＋19.
∵－2≤y≤2.
∴当y＝－3时，·的最大值为19，
当y＝2时，·的最小值为12－4.
综上，·的最大值为19；
·的最小值为12－4.
【同步练习】
(1)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．
(2)如图，已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P在第一象限，且满足||＝a，(＋)·＝0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若＝5，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 (1)－ (2)B
解析 (1)∵圆心O是直径AB的中点，
∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，
∵与共线且方向相反，
∴当大小相等时，·最小．由条件知，当PO＝PC＝时，最小值为－2××＝－.
(2)由(＋)·＝0，可得||＝||＝2c，
则点P(x，y)(x>0，y>0)满足
解得
又＝5，解得Q(c－，)，
又Q在双曲线C上，代入双曲线方程化简得80c4－168a2c2＋85a4＝0，则(4c2－5a2)(20c2－17a2)＝0，又c>a，所以4c2－5a2＝0,4(a2＋b2)－5a2＝0，则a＝2b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.
题型四 函数与方程思想在向量中的应用
例6 (1)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于______．
(2)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析 (1)因为b≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0或y≠0.
当x＝0，y≠0时，＝0；
当x≠0时，|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋xy，
＝＝，
不妨设＝t，则＝，
当t＝－时，t2＋t＋1取得最小值，
此时取得最大值4，
所以的最大值为2.
综上，的最大值为2.
(2)由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，得(－1)＋＋(＋)＝0，得(－1)＋＋(＋)(＋)＝0，得(λ＋μ－1)＋(λ＋)＝0.
又因为，不共线，
所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝.
答案 (1)2 (2)
第3课时
阶段重难点梳理
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
3．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
【知识拓展】
1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.
2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．
重点题型训练
题型五 平面向量与三角函数
命题点1 向量与三角恒等变换的结合
例1 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.且a＋b＝(0,1)，则α＝________，β＝______
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