资源描述
第1课时
进门测
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若∥,则A,B,C三点共线.( √ )
(2)向量b在向量a方向上的投影是向量.( × )
(3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.( × )
(4)在△ABC中,若·<0,则△ABC为钝角三角形.( × )
(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:=+t(+),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √ )
2、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则该三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
答案 B
解析 =(2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),
∴||==2,||==4,
||==6,
∴||2+||2=||2,
∴△ABC为直角三角形.
3、已知在△ABC中,||=10,·=-16,D为边BC的中点,则||等于( )
A.6 B.5
C.4 D.3
答案 D
解析 在△ABC中,由余弦定理可得AB2+AC2-2AB·AC·cos A=BC2,又·=||·||·cos A=-16,所以AB2+AC2+32=100,AB2+AC2=68.又D为边BC的中点,所以+=2,两边平方得4||2=68-32=36,解得||=3,故选D.
4、若向量a,b满足|a|=|2a+b|=2,则a在b方向上投影的最大值是( )
A. B.-
C. D.-
答案 B
解析 由题意得|2a+b|2=4|a|2+4|a||b|cos〈a,b〉+|b|2=16+8|b|cos〈a,b〉+|b|2=4,则cos〈a,b〉==-(+)≤-2 =-,当且仅当|b|=2时等号成立,所以向量a在向量b方向上投影的最大值是|a|cos〈a,b〉=-.
5、平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4,则点P的轨迹方程是____________.
答案 x+2y-4=0
解析 由·=4,得(x,y)·(1,2)=4,
即x+2y=4.
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 向量在平面几何中的应用
命题点1 向量和平面几何知识的综合
例1 (1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB=________.
(2)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.
答案 (1) (2)5
解析 (1)在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,∴==-,
又∵=+,
∴·=(+)·(-)
=2-·+·-2
=||2+||||cos 60°-||2
=1+×||-||2=1.
∴||=0,又||≠0,∴||=.
(2)以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=y.
则D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,y),
=(2,-y),=(1,a-y),
则+3=(5,3a-4y),
即|+3|2=25+(3a-4y)2,
由点P是腰DC上的动点,知0≤y≤a.
因此当y=a时,|+3|2取最小值25.
故|+3|的最小值为5.
命题点2 三角形的“四心”
例2 已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
答案 C
解析 由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.
引申探究
1.在本例中,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则如何选择?
答案 A
解析 由条件,得-=λ,即=λ,而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.
2.在本例中,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则如何选择?
答案 D
解析 由条件,得=λ(+),从而·=λ(+)
=λ·+λ·=0,
所以 ⊥,
则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
命题点3 平面向量数量积与余弦定理
例3 在△ABC中,AB=8,AC=6,AD垂直BC于点D,E,F分别为AB,AC的中点,若·=6,则BC等于( )
A.2 B.10
C.2 D.14
答案 A
解析 由题意,知DE=AE,DF=AF,
∵·=||·||·cos∠EDF
=||·||·
===6,
∴||=,∴BC=2.
【同步练习】
(1)在△ABC中,已知向量与满足(+)·=0,且·=,则△ABC为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.三边均不相等的三角形
(2)在△ABC中,=(,),=(1,),则△ABC的面积为________.
答案 (1)A (2)1-
解析 (1),分别为平行于,的单位向量,由平行四边形法则可知+为∠BAC的角平分线.因为(+)·=0,所以∠BAC的角平分线垂直于BC,所以AB=AC.
又·=··cos∠BAC=,
所以cos∠BAC=,又0<∠BAC<π,
故∠BAC=,所以△ABC为等边三角形.
(2)cos∠BAC==,
∴sin∠BAC=,
∴S△ABC=||·||·sin∠BAC=1-.
题型二 向量在解析几何中的应用
命题点1 向量与解析几何知识的综合
例4 (1)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三点共线,当k<0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________________.
(2)设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则=___________.
答案 (1)2x+y-3=0 (2)±
解析 (1)∵=-=(4-k,-7),
=-=(6,k-5),且∥,
∴(4-k)(k-5)+6×7=0,
解得k=-2或k=11.
由k<0可知k=-2,则过点(2,-1)且斜率为-2的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
(2)∵·=0,∴OM⊥CM,
∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,
由=,得k=±,即=±.
命题点2 轨迹问题
例5 已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且(+)·(-)=0.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任意一条直径,求·的最值.
解 (1)设P(x,y),则Q(8,y).
由(+)·(-)=0,
得||2-||2=0,
即(x-2)2+y2-(x-8)2=0,
化简得+=1.
∴点P在椭圆上,其方程为+=1.
(2)∵=+,=+,
又+=0.
∴·=2-2=x2+(y-1)2-1
=16(1-)+(y-1)2-1=-y2-2y+16
=-(y+3)2+19.
∵-2≤y≤2.
∴当y=-3时,·的最大值为19,
当y=2时,·的最小值为12-4.
综上,·的最大值为19;
·的最小值为12-4.
【同步练习】
(1)如图所示,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值为________.
(2)如图,已知F1,F2为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点P在第一象限,且满足||=a,(+)·=0,线段PF2与双曲线C交于点Q,若=5,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案 (1)- (2)B
解析 (1)∵圆心O是直径AB的中点,
∴+=2,∴(+)·=2·,
∵与共线且方向相反,
∴当大小相等时,·最小.由条件知,当PO=PC=时,最小值为-2××=-.
(2)由(+)·=0,可得||=||=2c,
则点P(x,y)(x>0,y>0)满足
解得
又=5,解得Q(c-,),
又Q在双曲线C上,代入双曲线方程化简得80c4-168a2c2+85a4=0,则(4c2-5a2)(20c2-17a2)=0,又c>a,所以4c2-5a2=0,4(a2+b2)-5a2=0,则a=2b,则双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x,故选B.
题型四 函数与方程思想在向量中的应用
例6 (1)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于______.
(2)在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ=________.
解析 (1)因为b≠0,所以b=xe1+ye2,x≠0或y≠0.
当x=0,y≠0时,=0;
当x≠0时,|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+xy,
==,
不妨设=t,则=,
当t=-时,t2+t+1取得最小值,
此时取得最大值4,
所以的最大值为2.
综上,的最大值为2.
(2)由=λ+μ,得=λ·(+)+μ·(+),得(-1)++(+)=0,得(-1)++(+)(+)=0,得(λ+μ-1)+(λ+)=0.
又因为,不共线,
所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=.
答案 (1)2 (2)
第3课时
阶段重难点梳理
1.向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:
问题类型
所用知识
公式表示
线平行、点共线等问题
共线向量定理
a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0
垂直问题
数量积的运算性质
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b为非零向量
夹角问题
数量积的定义
cos θ=(θ为向量a,b的夹角),其中a,b为非零向量
长度问题
数量积的定义
|a|==,其中a=(x,y),a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤:
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.
2.平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,可以用向量的知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).
3.向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数),解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题.
【知识拓展】
1.若G是△ABC的重心,则++=0.
2.若直线l的方程为Ax+By+C=0,则向量(A,B)与直线l垂直,向量(-B,A)与直线l平行.
重点题型训练
题型五 平面向量与三角函数
命题点1 向量与三角恒等变换的结合
例1 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.且a+b=(0,1),则α=________,β=______
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