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2022-2023学年山东省枣庄市滕州市高一上学期期末测试数学试题
一、单选题
1.已知集合,,则集合( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】解不等式求得集合、,由此求得.
【详解】,
,
所以.
故选:B
2.记,那么
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】,
,从而,
,
那么,
故选B.
3.使不等式成立的一个充分不必要条件是( ).
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解出不等式,进而可判断出其一个充分不必要条件.
【详解】解:不等式,
,解得,
故不等式的解集为:,
则其一个充分不必要条件可以是,
故选:.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,一般可根据如下规则判断:
(1)若是的必要不充分条件,则对应集合是对应集合的真子集;
(2)是的充分不必要条件, 则对应集合是对应集合的真子集;
(3)是的充分必要条件,则对应集合与对应集合相等;
(4)是的既不充分又不必要条件, 对的集合与对应集合互不包含.
4.已知函数,记,,,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先判断函数的性质,再比较的大小关系,从而利用单调性比较,,的大小关系.
【详解】是偶函数,并且当时,是增函数,
,
因为,,即
又因为在是增函数,所以.
故选:A.
【点睛】关键点点睛:本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小,本题的关键是判断函数的性质,后面的问题迎刃而解.
5.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数,则的最小值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【分析】将分离常数为,由,可得,且,,再结合基本不等式求解即可.
【详解】由,
又,所以,且,,
所以,
当且仅当,即,时,等号成立,
故的最小值为6.
故选:A.
6.我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图像来研究函数的性质,也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征,函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性,可排除D;当时,,可排除C;由,可排除B.
【详解】函数,由,即且且,
故函数的定义域为,
由,
所以函数为偶函数,其图象关于轴对称,可排除D;
当时,,,所以,可排除C;
由,,,即,可排除B.
故选:A.
7.已知定义在R上的函数y=f(x)对于任意的x都满足f(x+1)=-f(x),当-1≤x<1时,f(x)=x3,若函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有6个零点,则a的取值范围是( )
A.∪(5,+∞) B. ∪
C. ∪(5,7) D. ∪[5,7)
【答案】A
【详解】由f(x+1)=-f(x)得f(x+1)=-f(x+2),
因此f(x)=f(x+2),即函数f(x)是周期为2的周期函数.
函数g(x)=f(x)-loga|x|至少有6个零点可转化成y=f(x)与h(x)=loga|x|两函数图象交点至少有6个,需对底数a进行分类讨论.若a>1,则h(5)=loga5<1,即a>5.
若0<a<1,则h(-5)=loga5≥-1,即0<a≤.
所以a的取值范围是∪(5,+∞).故选A.
点睛:
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:.当时,( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】连接,分别求出,再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解:如图,连接,
因为是的中点,
所以,
又,所以三点共线,
即,
又,
所以,
则,故,
所以.
故选:B.
二、多选题
9.下列说法正确的是( )
A.与为同一函数
B.已知为非零实数,且,则恒成立
C.若等式的左、右两边都有意义,则恒成立
D.函数有且仅有一个零点,在区间内
【答案】ABC
【分析】根据题意,分别利用函数的概念,不等式的性质,同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.
【详解】对于A,因为函数与的定义域相同,
对应法则相同,所以是同一个函数,故选项A正确;
对于B,因为a,b为非零实数,且,
所以,故选项B成立;
对于C,因为
,故选项C正确;
对于D,因为函数的零点个数等价于
与图象交点的个数,作出图象易知,交点的个数为2,
所以函数有两个零点,故选项D错误,
故选:ABC.
10.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,若,则( )
A. B.
C.m的值可能是4 D.m的值可能是6
【答案】AD
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得,结合函数的单调性、奇偶性解不等式,求得的取值范围.
【详解】由题意可得,则.所以A选项正确.
的定义域为,
因为是偶函数,所以.
当时,单调递增.
因为是偶函数,所以当时,单调递减.
因为,所以,
所以,或,
解得或.所以D选项符合.
故选:AD
11.已知函数,下述正确的是( )
A.函数为偶函数
B.函数的最小正周期为
C.函数 在区间上的最大值为1
D.函数的单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】对于A,代入,由余弦函数的奇偶性可判断;
对于B,由函数的周期,求得函数的最小正周期;
对于C,由已知求得,根据正弦函数的性质可求得函数 在区间上的最大值;
对于D,由,求解即可得函数的单调递增区间.
【详解】解:因为,所以
对于A,,又,所以函数为偶函数,故A正确;
对于B,函数的最小正周期为,所以函数的最小正周期为,故B不正确;
对于C,当时,,所以,所以,
所以函数 在区间上的最大值为1,故C正确;
对于D,令,解得,所以函数的单调递增区间为,故D正确,
故选:ACD.
12.(多选题)已知函数,若函数恰有2个零点,则实数可以是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】ABC
【分析】令转化为,采用数形结合法可求参数范围,结合选项即可求解.
【详解】令得,令,由画出图象得:
由图可知,要使恰有2个零点,则直线与要有两个交点,或,故ABC都符合.
故选:ABC
三、填空题
13.函数的定义域为________.
【答案】
【解析】由题意得,解得即可.
【详解】由题意,要使函数有意义,则,即,
解得,
所以
所以函数的定义域为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质,属于中档题.
14.已知函数,若实数满足,则的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据奇偶性定义可判断出为定义在上的偶函数,从而将所求不等式化为;根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定在上单调递增,由偶函数性质可知在上单调递减,由此可得,解不等式即可求得结果.
【详解】的定义域为,,
为定义在上的偶函数,
;
当时,单调递增,在上单调递增;
又在上单调递减,在上单调递增,
图象关于轴对称,在上单调递减;
则由得:,即,解得:,
即实数的取值范围为.
故答案为:.
15.已知函数,则的值为___________.
【答案】##5.25
【分析】根据函数满足即可求解.
【详解】因为,
所以
,
故答案为:.
16.函数的图象在上恰有两个最大值点,则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】首先求出,根据题意则有,解出即可.
【详解】当时,,
的图象在上恰有两个最大值点,
.
故答案为:.
四、解答题
17.(1)计算
(2)计算.
【答案】(1)0;(2)3
【分析】(1)利用有理数指数幂性质以及运算法则求解;
(2)利用对数性质及运算法则求解.
【详解】(1)
.
(2)
.
18.设,函数的最小正周期为,且.
(1)求和的值;
(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像;
(3)若,求的取值范围.
【答案】(1),
(2)作图见解析
(3)
【分析】(1)利用最小正周期和解即可;
(2)利用列表,描点画出图像即可;
(3)由余弦函数的图像和性质解不等式即可.
【详解】(1)∵函数的最小正周期,∴.
∵,
且,∴.
(2)由(1)知,列表如下:
0
0
1
0
-1
0
在上的图像如图所示:
(3)∵,即,
∴,
则,
即.
∴的取值范围是
19.已知,不等式的解集是.
(1)求的解析式;
(2)不等式组的正整数解仅有2个,求实数取值范围;
(3)若对于任意,,不等式恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)结合根与系数关系求得,;
(2)根据不等式组的正整数解仅有2个,可得到,即可求解;
(3)对进行分类讨论,结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】(1)因为,不等式的解集是,
所以2,3是一元二次方程的两个实数根,
可得,解得,所以;
(2)不等式,即,
解得,因为正整数解仅有2个,可得该正整数解为6、7,
可得到,解得,则实数取值范围是,;
(3)因为对于任意,,不等式恒成立,所以,
当时,恒成立;
当时,函数在,上单调递减,所以只需满足,解得;
当时,函数在,上单调递增,所以只需满足(1),解得,
综上,的取值范围是.
20.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数在区间上的最小值和最大值,并求此时x的值.
【答案】(1)增区间,;减区间,
(2)最大值为,;最小值为,
【分析】(1)将整体代入的单调区间,求出的范围即可;
(2)通过x的范围,求出的范围,然后利用的最值的取值求解即可.
【详解】(1),
令,,得,,
令,,得,,
故函数的单调递增区间为,;
单调递减区间为,;
(2)当时,,
所以当,即时,取得最大值,
当,即时,取得最小值.
21.截至2022年12月12日,全国新型冠状病毒的感染人数突破人.疫情严峻,请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题.
【主题一】【科学抗疫,新药研发】
(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药,并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t)(单位:mg/L)随着时间t(单位:h)的变化用指数模型描述,假定某药物的消除速率常数(单位:),刚注射这种新药后的初始血药含量,且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效,现给某新冠病人注射了这种新药,则该新药对病人有疗效的时长大约为( )(参考数据:,)
A.5.32h B.6.23h C.6.93h D.7.52h
【主题二】【及时隔离,避免感染】
(2)为了抗击新冠,李沧区需要建造隔离房间.如图,每个房间是长方体,且有一面靠墙,底面积为48a平方米,侧面长为x米,且x不超过8,房高为4米.房屋正面造价400元
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