2022年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）（附答案详解）

2022年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）一、单 选 题（本大题共12小题，共60.0分）1.己知集合4=%|%2 x 2 0,B=x2x 4-1 0 ,则A n 8=()A.(-|,1)B.(-1,2)C.D.(-2,-2.若zi=l+3 i,则5=()A 3+i B.3-i C 3+2i D.3-2i3.已知命题p：3x E N Igx 0,q：Vx G R,cosx 1,则卜列命题是真命题的是()A pAq B.(-p)A q C.p 八(%)D.(p V q)4.下列函数中，最小正周期为的是()4xA.y=sin-B.y=sin8x C.y=cos-5.设函数/。)=2+：的零点为x ,则x e()A.(-4,-2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.y=tan(8%)D.(2,4)6.在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=?,a=2,2sinB=3sinA,则AABC的面积为（）A.迥 B.辿 C.3 D.3V22 27.已知函数f（x）=lg（=+a）是奇函数，则使得0 /（%）/21 0.已知函数/（%）=-/+/+法 缶/0）的一个极值点为1,则a 2 b 2的最大值为()1 1 .如图，在正四面体4 B C C中，E是棱A C的中点，F在棱B D上,且B D =4 F D,则异面直线E F与4 8所成的角的余弦值为（）A.更3B.立2C.12D.31 2 .已知椭圆C：+，=l（ab0）的左、右焦点分别为%F2,M为C上一点，且加招尸2的内心为/（勺,2）,若A MF i F a的面积为4 b，则 号 翳 包=（）A.|B.|C.苧 D.|二、填 空 题（本大题共4小题，共2 0.0分）1 3 .已知向量五=b=（0,5）,若五 10 +2 9），则=.1 4 .写出一个离心率与双曲线C：/一g=1的离心率互为倒数的椭圆的标准方程31 5 .计算：2 c o s 5 0。一 =.1 6 .已知三棱锥P-4 B C的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且 A B C是底边长为3V 2,面积为迫的等腰三角形，则 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为.2三、解 答 题（本大题共7小题，共8 2.0分）1 7 .某科技公司有甲、乙、丙三个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为，|现安排甲组和乙组研发新产品4丙组研发新产品B,设每个小组研发成功与否相第 2 页，共 18页互独立，且当甲组和乙组至少有一组研发成功时，新产品4 就研发成功.(1)求新产品4 B 均研发成功的概率；(2)若新产品4 研发成功，预计该公司可获利润1 8 0万元，否则利润为0万元；若新产品B 研发成功，预计该公司可获利润1 2 0万元，否则利润为0万元.求该公司研发A,B 两种新产品可获总利润(单位：万元)的分布列和数学期望.1 8.已知数列 斯 1 是递增的等比数列，=5 且a 3+a 4=2 6.(1)求数列 即 的通项公式；(2)求数列?!g 的前n 项和S”.1 9.如图，四棱锥P-A B C。的底面4 B C D 是平行四边形,PA 1 底面4 8 c0,PA=AD=4,/.BAD=1 2 0,平行四边形4 B C D 的面积为4 百，设E 是侧棱P C 上一动点.(1)求证：CD1AE：(2)记竟=2(0 A o)的焦点F 与双曲线2 y 2 一2%2 =1 的一个焦点重合.(1)求抛物线r 的方程；(2)过点尸作斜率不为0的直线/交抛物线r 于4 c两点，过4 c作/的垂线分别与y 轴交于B,D,求四边形力B C D 面积的最小值.2 1 .已知函数/(x)=(x +l)，n x +m x,(x)=m2x2ex1,其中m 0.(I )讨论函数g(x)的单调性；(1 1)若仅2 1,证明：当x0 时，g(x)2 f(x).2 2 .在直角坐标系x O y 中，直线I 的参数方程是；1t为参数)以原点。为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆。的极坐标方程为p 2 -8 =2P(cose+si必.(1)求直线1 的普通方程和圆。的直角坐标方程；(2)当。e g,扪时，求直线 与圆。的公共点的极坐标.第4页，共18页2 3.设函数/(%)=|3x -6|4-2|x 4-1|m(m 6 R).(1)当m=2 时，解不等式f(x)1 2；(2)若关于的不等式/(%)+|%+1|0无解，求?n 的取值范围.答案和解析1 .【答案】C【解析】解：因为4 =x|x2-x -2 0 =(-1,2),B=(x2x+1 0 =xx 则ACB=(-1,-i).故选：C.解不等式先求出集合力，B,然后结合集合的交集运算即可求解.本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.2 .【答案】A【解析】解：zi=1+3 i,l+3i(l+3t)i .“=丁=丁=3-，z =3 +i.故选：A.根据已知条件，结合共较复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.本题考查了共挽复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.3 .【答案】B【解析】解：由l g x 0,得0 x l,故命题p：Bx E N*,Igx 0 是假命题，则”是真命题，由co s x 0,/(1)=-=-0,八，2 3 61 2 ，f(-2)=i-=-0,4 3 1 2所以f(x)=2 丫 +：的零点在区间(一2,-1)内，故选：B.根据零点存在定理判断即可.本题考查了函数的零点，理解零点存在定理是关键，属于易做题.6.【答案】A【解析】解：因为C=g,Q=2,2sinB=3sinA,由正弦定理得，2b=3a=6,所以b=3,故4 4BC的面积S=-absinC=-x 2 x 3 x =2 2 2 2故选：A.由已知结合正弦定理可求b,然后结合三角形面积公式可求.本题主要考查了正弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题.7.【答案】C【解析】解：因为函数/(x)=lg(京+a)是奇函数，所以/(0)=lg(2+a)=0,即2+a=l,解得a=-1,可化为所以/(x)=l g(*-l)，因为0 /(%)1,所以0 lg(右-1)1,即1(高 一 1 0 铲。+1)0 x+1解得三 x 0.故选：C.由;()=0,可得a=-l,再结合对数函数的单调性，可将问题转化为解不等式1 后 一 1 0,b 0,所以a2 b2 当且仅当a=b 时取等号，L 16 L所以a?炉的最大值整，ID故选：D.根据导数与函数极值的关系，即可求得a+b=3,即可求得a?炉的最大值.本题考查导数的应用，导数与函数极值的关系，基本不等式的应用及成立条件，考查转化思想，属于基础题.11.【答案】C解：设4B=4,建立如图所示的空间直角坐标系,则尸(0,1,0),B(0,-2,0),C(2V3,0,0).4(誓,0,竽)，E(#,0,竽),贝 面=（誓,2,竽）,对=*1,争设瓦?，丽的夹角为。，则皿。=噩=常=3则异面直线EF与4B所成的角的余弦值为|,故选：C.先建系，再标坐标，然后由向量夹角公式求解即可.本题考查了利用空间向量解决异面直线所成角，重点考查了运算能力，属基础题.12.【答案】B【解析】解：由题意可得，AMFiF2的内心/（而,2）到x轴的距离就是内切圆的半径.又点M在椭圆C上，由椭圆的定义，得IMF/+MF2+尸出|=2a+2csM&/=（2a+2c）x 2=2（a+c）=4 b,即a+c=2b.又 =e a,所以b=a。；，）,因为a2=2+c2,所 以 性 詈%+a2e2=a 2,即（1+e+4e2=4,所以5e2+2 e-3 =0,解得e=|或一 1（舍去），所以四止3=四=2=三 八 I0F2I 2c e 3,第10页，共18页故选：B.根据椭圆的定义，三角形的面积可求出桶圆的离心率，所求即为离心率的倒数可得解.本题考查椭圆的性质，考查学生的运算能力，属于中档题.1 3.【答案】3【解析】解：.向量五=(0,5)，a 1 (a+2 h)，.-.a-(a+2 K)=a2+2 a-K =x2+l+2(0-5)=0.则 x =3,故答案为：3.由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得x 的值.本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题.1 4 .【答案】9+1(答案不唯一)【解析】解：双 曲 线/一些=i 的离心率为0=叵=2,则椭圆的离心率为;,3 1 2所以椭圆的标准方程可以为次+日=1.4 3故答案为：9+1=1(答案不唯一).求出双曲线的离心率，进而求出椭圆的离心率，写出符合要求的椭圆方程.本题主要考查椭圆方程的求解，属于基础题.1 5 .【答案 展si714O【解析】解：2 c o s 5 0 =2 c o s 5 0 =2 c o s 5 0 ,m的。2 2 2cos404sin50cos50o-sin400 _ 2sin800-sin40 _ 2cosl0-sin400_ 2cos(40-30)-sin40 _ V32cos400 2cos40 2cos40 2cos400 2故答案为:今直接利用三角函数的关系式的变换和和角公式的运用求出结果.本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.1 6.【答案】3 4 7r【解析】解：三棱锥P -4 BC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，如图，设P 4 =BC=3 V 2,PB-AC-PC=AB=x,长方体交于一个顶点的三条棱长为a,b,则Swc=|x3V2x卜_ 净=，解得“5.由题得 M +炉=PA2=(3 V 2)2=1 8,a2+c2=A C2 2 5,b2 4-c2=PC2=2 5,解之得Q=3,b=3,c =4.所以该三棱锥的外接球的半径为R =加*:=a+32+42=旦2 2 2所以该三棱锥的外接球的表面积为S =4 兀/?2 =4 兀X ()2 =3 4 7r.故答案为：3 4 7r.把三棱锥放入一个长方体中，转化为求长方体外接球的半径即可得解.本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.1 7.【答案】解：(1)设新产品研发成功为事件M,新产品B 研发成功为事件N,则P(M)=1 -(1 -P(N)=l，O Q O故 P(MN)=P(M)P(N)=(2)设该公司研发4,B 两种新产品可获总利润为随机变量X,则X 所有可能取值为0,1 2 0,1 8 0,3 0 0,第12页，共18页P(X =O)=*P(X =1 8 0)=|x(l-|)=P(X=3 0 0)=1 -P(x =0)-P(X=1 2 0)-P(X=1 8 0)=|,故X的分布列为：故 E(X)=。喘+1 2。x /1 8。x 2+3 0 0 x|=1 9 2.X01 2 01 8 03 0 0p2i4_2155155【解析】(1)根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，即可求解.(2)设该公司研发4 8 两种新产品可获总利润为随机变量X,贝味所有可能取值为0,1 2 0,1 8 0,3 0 0,分别求出对应的概率，即可得f 的分布列，并结合期望公式，即可求解.本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题.1 8.【答案】解：(1)由于数列 a n-1 是递增的等比数列,所以Q-I)2=(a2-1)(4 -1)；由于 a2 -5 且+。4 =2 6,故 阱-1)2；*一 1),解 得 产=;；l a4=1 7整理得公比q=f1=2,U 3 l所以a1 1 =2,故 心.=3；所以即-1 =(%-1)x 2r at,整理得斯=2+1；(2)由(1)得：nan=n-2n+m所以7；=1 x 2 +2 x 2 2 +3 x 2 3+展 2%，2 7；=1 x 22+2 x 23+3 x 24+.+n -2n+1,(2),一 得：-Tn=(21+22