中考数学二轮复习培优专题15 阴影部分面积处理技巧（教师版）

求阴影部分面积的常用方法： ①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算； ②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差； ③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件. ④相似与同高不同底三角形结合法. 专题15 阴影部分面积处理技巧 1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的顶点在轴的正半轴上，已知点、、，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分图形的面积为___________． 【答案】 【分析】先判断出，根据勾股定理可得的长，根据绕点A顺时针旋转得到，可得图中阴影部分面积，再根据扇形面积公式即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴图中阴影部分面积 ． 故答案为：． 【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理，坐标与图形变化-旋转，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 2．如图，在正方形ABCD中，AB=12．以点B为圆心，BA长为半径在正方形内部作，点E为上一点，连接BE分别以点B，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交于点F，交BE于点G，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】连接BF，EF，根据作法可得MN为BE的垂直平分线，从而得到△BEF为等边三角形，再求出弧EF的长，再根据阴影部分的周长为，即可求解． 【详解】解：如图，连接BF，EF， 根据题意得：BF=BE=AB=12， 根据作法得：MN为BE的垂直平分线， ∴BF=EF，BG=EG=6， ∴BE=BF=EF，， ∴△BEF为等边三角形， ∴∠EBF=60°， ∴弧EF的长为， ∴阴影部分的周长为． 故答案为： 【我思故我在】本题主要考查了求弧长，等边三角形的判定和性质，尺规作图，熟练掌握弧长公式，等边三角形的判定和性质，作已知线段的垂直平分线的作法是解题的关键． 3．如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．(结果保留π) 【答案】 【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，则可判断点O是弧AOP的中点，由折叠的性质可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，连接OP， 则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点， ∴S弓形AO=S弓形PO， 在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=， ∴∠OAD=30°， ∴∠BOP=60°， ∴S阴影=S扇形BOP==π． 故答案为：π． 【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是弧AOP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积． 4．如图1，是一枚残缺的古代钱币．图2是其几何示意图，正方形的边长是1cm，的直径为2cm，且正方形的中心和圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则钱币残缺部分(即图2中阴影部分)的面积是___________． 【答案】 【分析】根据圆的性质进行求解即可； 【详解】解：如图，延长正方形的四边得到圆O的内接正方形EFGH， ∴ ∵该圆直径为2，则半径为1 ∴S阴影= 故答案为： 【我思故我在】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质并正确求解是解题的关键． 5．如图，在中，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】连接．根据题意和图形，可以发现阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积．又易证≌，即得出四边形的面积等于的面积，最后由扇形面积公式和三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图， ，点为的中点，， ， ， ， ． 又， ≌， 四边形的面积等于的面积， ． 故答案为：． 【我思故我在】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质．解答本题的关键是明确题意，正确连接辅助线，并利用数形结合的思想解答． 6．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以点O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则图中阴影部分的面积是_____(结果保留π) 【答案】 【分析】根据题意，首先证明根据计算即可． 【详解】解： OB＝4， ∴△OBD是等边三角形 故答案为∶． 【我思故我在】本题主要考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，学会添加辅助线和数据公式是解题关键． 7．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，是边的中点，、为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】120 【分析】连接先证明四边形是平行四边形，得到，根据EO∥BG，得到，从而得到，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵平行四边形中，对角线、相交于点， ∴是边的中点， 又∵是边的中点， ∴是的中位线， ∴EO∥BG，． 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴， 又∵EO∥BG， ∴， ∴．   ∴． ∵， ∴等腰中边上的高为， ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴阴影部分的面积为120． 故答案为：120． 【我思故我在】本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形的中线有关面积计算、不规则图形面积的计算，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键． 8．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____． 【答案】24﹣64π 【分析】由旋转的性质可得DE＝DC＝4，由锐角三角函数可求∠ADE＝60°，由勾股定理可求AE的长，分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积，即可求解． 【详解】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转， ∴DE＝DC＝4， ∵cos∠ADE， ∴∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴S扇形EDC4π， ∵AE6， ∴BE＝AB﹣AE＝46， ∴S四边形DCBE24﹣6， ∴阴影部分的面积＝24﹣64π， 故答案为：24﹣64π． 【我思故我在】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是______． 【答案】9 【分析】分别取AB、AC的中点N、M，连接DN、DM，则可得，，又，分别表示出△AFD和△AHD的面积，即可求得答案． 【详解】解：如图，分别取AB、AC的中点N、M，连接DN、DM， ∵D是BC中点， ∴DN∥AC，且， DM∥AB，且， ∵∠BAC＝90°， ∴DN⊥AB ，DM⊥AC， 在正方形ABEF和正方形ACGH中，AF=AB，AH=AC， ∴ ， ， 又∵在Rt△ABC中， ∴． 故答案为9 【我思故我在】本题考查阴影部分面积的求法，准确作出辅助线，列出面积计算公式进行转化是解题的关键． 10．如图，在OBC中，∠COB＝90°，∠B＝60°，CO＝4，以OB为半径的半圆O交斜边BC于点D，则阴影部分面积为_____(结果保留π)． 【答案】+4 【分析】连接OD，首先证得△BOD是等边三角形，然后解直角三角形求得OB，再利用扇形面积求法以及等边三角形面积求法得出答案． 【详解】解：连接OD， ∵OB＝OD，∠B＝60°， ∴△BOD是等边三角形， ∴∠BOD＝60°， ∴∠COD＝90°﹣60°＝30°， 在△OBC中，∠COB＝90°，∠B＝60°，CO＝4， ∴OB＝OC＝×4＝4， ∴S阴影＝S扇形DOE+S△BOD， ＝ ＝+4， 故答案为：+4． 【我思故我在】此题主要考查了解直角三角形、扇形面积求法以及等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 11．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，可得，，再由勾股定理可得，再证得为等边三角形，可得，，进而得到，，再根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， 在中，，，， ∴AB=2BC=4，， ∴， ， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为： 【我思故我在】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，根据题意得到阴影部分的面积等于是解题的关键． 12．如图，在中，，点是的中点．以为直径的交于点，连接．若是的切线，，，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】连接OE，由图形可知：S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD，通过圆的性质可以分别求出四边形OBED和扇形OBD的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接OE， ∵O是AB的中点， ∴OB=AB=2， 在Rt△ABC中，BC=AB•tanA=， ∵E是BC的中点， ∴BE=BC=，S△OBE=×OB•BE=， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∵OB=OD，OE=OE， ∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL)， ∴S△ODE=S△OBE=， ∴S四边形OBED=， ∵∠A=60°， ∴∠BOD=120°， ∴S扇形OBD=， ∴S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD=． 【我思故我在】本题主要考查了圆的综合性质，切线的性质，扇形的面积等知识，熟练掌握圆的综合性质，将不规则的阴影面积用规则面积表达出来是解决本题的关键． 13．如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=6，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则阴影部分的面积为_________． 【答案】-9 【分析】连接OD，交BC于E，根据对折得出BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=6，求出△DOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠DOB=∠DBO=60°，求出∠COD=∠AOB-∠DOB=45°，求出CE=OE=3，再分别求出扇形AOD和△COD的面积即可． 【详解】解：连接OD，交BC于E， ∵沿BC对折O和D重合，OD=6， ∴BC⊥OD，DE=OE=3，∠DBE=∠OBE，OB=BD=6， ∴∠BEO=90°，△DOB是等边三角形， ∴∠DOB=∠DBO=60°， ∵∠AOB=105°， ∴∠COD=∠AOB-∠DOB=45°， ∵∠OEC=90°， ∴CE=OE=3， ∴阴影部分的面积 =S扇形AOD-S△COD = =π-9， 故答案为：π-9． 【我思故我在】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键. 14．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是 _____． 【答案