江苏五年数学高考真题

2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共7 0分.l ./(x)=c os(y x-高 的 最 小 正 周 期 为 其 中3,则=.2 .一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 .3 .34 表示为 a+e R),则 a+b=.4.A=X|(X-1)1 2 0)的一条切线，则实数b=.9在平面直角坐标系x O y中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0)，点P(0,p)在线段AO上的一点(异于端点)，设a,b,c,p均为非零实数，直线B P,C P分别与边A C,AB交于点E、F ,某同学已正确求得O E的方程：(2一工 一,y =0,请你完成1 11 21 3 1 4 1 5按照以上排列的规律，数阵中第n行(n 2 3)从左向右的第3个数为 y21 1 .已知及y,z c R+，满足x-2 y +3 z =0,则2-的 最 小值是 .XZx1 y21 2.在平面直角坐标系直为中，设椭圆=+2T=1(的焦距为2 c,以点。为圆心,a b。为半径作圆M,若 过 点 尸,0所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为6 =k c)1 3 .满足条件A B=2,A C=V 2 BC的三角形A B C的面积的最大值是 1 4.设函数x)=a x 3 3x +l (x R),若对于任意x e 1,1,都有/(x)2 0成立，则实数a=.二、1 5.如图，在平面直角坐标系x O y中，以O x轴为始边做两个锐角二，力，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为也,还10 5(I )求 t a n(a+)的值；(I I)求a +2 的值.1 6 .如图，在四面体AB C D中，C B=C D,A D B D,点E、F分别是A B、BD的中点，求证：(I )直线E F 平面A C D ；(H )平面E F C _L平面B C D .1 7 .如图，某地有三家工厂，分别位于矩形A B CD的两个顶点A、B及CD的中点P处，已知A B=20 k m,C B=1 0 k m ,为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形A B C D的区域上(含边 界)，且 与A、B等 距 离 的 一 点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道A O,B O,O P ,设排污管道的总长为y k m.(I )按下列要求写出函数关系式：设/B A O=6(r a d),将y表示成夕的函数关系式;设OP=x(km),将 y 表示成x 的函数关系式.(H)请你选用(I)中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.18.设平面直角坐标系xoy中，设二次函数/(x)=x2+2x+b(x e R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(I)求实数b 的取值范围；(I I)求圆C 的方程；(I I I)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无 关)？请证明你的结论.19.(I)设,是各项均不为零的等差数列(”2 4),且公差d w O,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：当 n=4时，求色的数值；求”的所有可能值；d(I I)求证：对于一个给定的正整数n(n 2 4),存在个各项及公差都不为零的等差数列仇也,也，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.20.若工卜)=少一叫/2(力=23卜那，xeR,P 1,2为常数，函数;定义为：对每个给定的实数X,上陶牖工（I ）求 x）=/x）对所有实数X成立的充要条件（用P 1,P 2表示）；（I I）设a,6为两实数,满足a b,且0卬2 44为），若 a）=/,求 证:x）在区间目上的单调增区间的长度之和为2 9 （闭区间上/的 长 度 定 义 为m）.2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共I 小题，每小题5 分，共 7 0 分.1 .【答案】1 02 .【答案】1 2【解析】本小题考查古典概型.基本事件共6X6个，点数和为4 的有（1,3）、（2,2）、（3,1）共 3 个，故=3=-!1-6 x 6 1 23 .【答案】14.【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.由（x-4 3x-7 得 V5X+8 2 I-i解得2后 2 x V2 x故当x =2五 时取得SMBC最大值2亚1 4.【答案】4若x =0,则 不 论Q取 何 值，/(%)0显 然 成 立；当x0即尤E1,1 时，/(x)=a x 3 3 x +l 2 0 可化为，a-.设g(x)=,-y,则g1(x)=3。,X X X X X所 以g(x)在 区 间(0，上 单 调 递 增，在 区 间pl上 单 调 递 减，因此g(x)m ax=g|=4,从而a 2 4：当 X V 0 即 1,0)时，/()=。1 3-3彳 +1 2 0可化为4 4彳一1，g(x)=3(l,2 x)0g(x)在区间-1,0)上单调递增，因此g(x)m i“=g(-l)=4，从而a W 4,综上a=4B 21 5.解：由已知条件及三角函数的定义可知，c os a=i r c o s尸二二一，因为夕为锐角,所以 s in a=今 ,s in 0=咚 因 此 t ana=7,t an/?=(I)t an(a+尸 tana+tan 尸=_ 31 -t an a t an/3.c o 2t an 4 叱.cta n a +t an I B ,(I I)t an2/7 =-J =-，所以 t an(a+2)=-=-ll-t an2y 0 3 /1-t an a t an 23 4 3 7 r:a,/?为锐角，0 a+2/?,J a+2 =7-1 6解：(I )；E,F分别是A B,B D的中点,AEF是4 ABD的中位线，E F A D,V E F t Zf f i A C D ,A D c z 面 A C D ,二直线 E F面 A C D .(H ),:A D 1 B D ,E F/7 A D,E F 1 B D.V C B=C D,F 是 B D 的中点，A C F 1 B D.又 E F P|C F=F,.B D J _面E F C.；B D u 面 B C D,二面 E F C L面 B C D.1 7.解：(I )延长P O交AB于点Q,由条件知P Q垂直平分A B,若/B A O=6(r ad),贝i 04=-=-,故c os 0 c os 6O B =-I。,又OP=1 0-l Ot and 1 01 0t a6,c os。所以 y =OA +O 8+O P=-+-+1 0-1 0t an6,c os 6 c os 0所求函数关系式为y =+1 0 o。若 OP=x(k m),则 OQ=1 0-x,所以 OA=OB=(l O-x)?+1 0?所求函数关系式为y =X+2&-20 x+200(0 x 1 0)皿 收,-1 0co sco s(20-1 O si n 0)(-si n 0 1 0(2s in-l)(I I)选择函数模型，y =-J-L=二5-c os2e c os 01j r j r令y =o 得s in e=,因为oe,所以e=,2 4 6当工 时，y 0,y是6的增函I 6j 6 4J数，所以当。=工 时，y m m =1 0+1 6。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边61 0 7 3,.-k m 处。31 8 .解：(I )令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b)；令/(“=/+2x+b=0，由题意b#0且 0,解得b l且b0.(I I)设所求圆的一般方程为/+y2+Dx+Ey+F=0令y =0得尤2 +D r +/=0这与x?+2x+b=0是同一个方程，故D=2,F=b.令x=0得y 2+E y =0,此方程有一个根为b,代 入 得 出 =b1.所以圆C的方程为/+丁+2X一3 +1“+匕=0.(I I I)圆C必过定点(0,1)和(一2,1).证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边=。2+2X 0-(b+1)+b=0,右边=0,所以圆C必过定点(0,1).同理可证圆C必过定点(一2,1).1 9.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满 分1 6分。解：首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差面=0事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数歹I J,则 a2=(d-do)(a+d0).由此得d0=0(1)(i)当 =4 时，由于数列的公差d#0,故 由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2 或a3若删去的，则由a iMN成等比数列，得+2 dy=a(ai+3 d)因 d W O,故山上式得3 =-4 d,即2=-4,此时数列为一4 d,-3 d,-2 d,一d,满d足题设。若删去a?,则由 声2 招 4成等比数列,W(ai+d)2=ai(ai+3 d)因 d W O,故由上式得ai=d,即2=1,此时数列为d,2 d,3 d,4 d,满足题设。综上可d知，生的值为一4或 1。d(i i)若“26,则从满足题设的数列如也,而中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故 由“基本事实”知，数列a,a2,新的公差必为0,这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n W 5,又因题设”?4,故 n=4 或 5.当 n=4 时;由(i)中的讨论知存在满足题设的数列。当 n=5时，若存在满足题设的数列为应也处用，则 由“基本事实”知，删去的项只能是 a?,从而 ai,a2,a4,a5 成等比数列，i (ai+d)2=ai(ai+3 d)(ai+3 d)2=(ai+d)(ai+4 d)分别化简上述两个等式，得 ad=d2 及 a=5d,故 d=0,矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5 的等差数列。综上可知，n 只能为4.(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d 的 n 项等差数列b i b+d ,b,+(n-l)d (bi d W O),其中三项 bi+m i d ,bi+n)2 d ,bi+m s d 成等比数列，这里 O Wm K m X nu WnT,则 有(bi+m z d )2=(bi+m i d )(bi+i m d)化 简 得(nh+m 3-2 ni 2)bi d =(-m i nu)d(*)由bi d#0知，m i+m 2 ni 2 与 或 同 时 为 零，或均不为零。若小1+所 2 m 2=0 且 一 叫 四 二 0,则有(一 j一-)2-m i m3=0,E P (m i-nb)2=0,得 m i=ni 3,从而叫二叱二叱,矛盾。因此，m i+ni 3-2 m 2 与 欣-m ni h 都不为零，故 由(*)得b、-mxm3d mi+机3 -2m2因为3,o h,均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而3是一个有理数。d于是，对于任意的正整数n2 4,只要取4 为无理数，则相应的数列bi,b2,也就是满足要d求的数列，例如，取bI=l,d=后，那么，n项数列1,1+VL1+2VL，1+（-1）及满足要求。2 0.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用.（I ）X）=/（x）恒成立 o -（x）f2（x）o 3 1 f l 2 o 3 1 f H f l 3l 02=|x-P i H x-2 归/%2（*）因为|X-PI|TX P 2|W（X-PJ -（XP 2）|=|PP 2|所以，故只需1 P l -小|/叫 2.(1)当 P 1 -“2 log32 吐/(x)=3 f,xe p|,b3PX,xe a,p力（）=y-x e p2,b 3 叫当 x e Pi,b ,2L=3-。一叫2 0,人(x)0，所 以h(町/1(x)3。=力 因 为 工（工）0,力（犬）所 以工（x）/2（x）故 力=/2（力=3 3+晦2因为