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专题09二次函数与正方形存在性问题
二次函数与正方形存在性问题
1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：(1)有一个角为直角的菱形；
(2)有一组邻边相等的矩形；(3)对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有：
思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．
3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．
如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．
【例1】(2022•齐齐哈尔)综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A(﹣1，0)，B(4，5)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 (1，2) ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【分析】(1)将A(﹣1，0)，B(4，5)代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；
(2)根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标；
(3)设D(a，a2﹣2a﹣3)，则E(a，a+1)，表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；
(4)分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案．
【解答】解：(1)将A(﹣1，0)，B(4，5)代入y＝x2+mx+n得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵AC+BC≥AB，
∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，y＝2，
∴C(1，2)，
故答案为：(1，2)；
(3)设D(a，a2﹣2a﹣3)，则E(a，a+1)，
∴DE＝(a+1)﹣(a2﹣2a﹣3)＝﹣a2+3a+4(﹣1＜a＜4)，
∴当a＝时，DE的最大值为；
(4)当CF为对角线时，如图，
此时四边形CMFN是正方形，
∴N(1，1)，
当CF为边时，若点F在C的上方，
此时∠MFC＝45°，
∴MF∥x轴，
∵△MCF是等腰直角三角形，
∴MF＝CN＝2，
∴N(1，4)，
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，
同理可得N(﹣1，2)，
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，
同理可得N(，)，
综上：N(1，1)或(1，4)或(﹣1，2)或(，)．
【例2】(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【分析】(1)先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH＝2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；
(2)由(1)知：设H(t，﹣t2+8)(t＞0)，表示矩形EFGH的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；
(3)设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出点N的坐标，并计算点N是圆M与抛物线在y轴右侧的切点即可．
【解答】解：(1)如图1，由题意得：A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，8)，
设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，
把B(4，0)代入得：0＝16a+8，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH＝FG＝2OG，
设H(t，﹣t2+8)(t＞0)，
∴﹣t2+8＝2t，
解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2(舍)，
∴此正方形的面积＝FG2＝(2t)2＝4t2＝4(﹣2+2)2＝(96﹣32)dm2；
(2)如图2，由(1)知：设H(t，﹣t2+8)(t＞0)，
∴矩形EFGH的周长＝2FG+2GH＝4t+2(﹣t2+8)＝﹣t2+4t+16＝﹣(t﹣2)2+20，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；
(3)若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，
则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，
设N(m，﹣m2+8)，
由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，
∴m2+(﹣m2+8﹣3)2＝32，
解得：m1＝2，m2＝﹣2(舍)，
∴N(2，4)，
∴PM＝4﹣1＝3，
∵cos∠NMP＝＝＝，
∴MQ＝3MN＝9，
∴Q(0，12)，
设QN的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴QN的解析式为：y＝﹣2x+12，
﹣x2+8＝﹣2x+12，
x2﹣2x+4＝0，
Δ＝(﹣2)2﹣4××4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．
【例3】(2022•海南)如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0)、C(0，3)，并交x轴于另一点B，点P(x，y)在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP的面积；
(3)点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；
(4)如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G(n，0)，点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．
【分析】(1)将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；
(2)可推出△PCB是直角三角形，进而求出△BOC和△PBC的面积之和，从而求得四边形BOCP的面积；
(3)作PE∥AB交BC的延长线于E，根据△PDE∽△ADB，求得的函数解析式，从而求得P点坐标，进而分为点P和点A和点Q分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；
(4)作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．根据△GLC≌△CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MT＝IW，构建方程求得n的值．
【解答】解：(1)由题意得，
，
∴，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
(2)当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴B(3，0)，
∵PC2+BC2＝[1+(4﹣3)2]+(32+32)＝20，PB2＝[(3﹣1)2+42]＝20，
∴PC2+BC2＝PB2，
∴∠PCB＝90°，
∴S△PBC＝＝＝3，
∵S△BOC＝＝＝，
∴S四边形BOCP＝S△PBC+S△BOC＝3+＝；
(3)如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，
设P(m，﹣m2+2m+3)，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，
x＝m2﹣2m，
∴PE＝m﹣(m2﹣2m)＝﹣m2+3m，
∵PE∥AB，
∴△PDE∽△ADB，
∴＝＝＝﹣(m﹣)2+，
∴当m＝时，()最大＝，
当m＝时，y＝﹣()2+2×+3＝，
∴P(，)，
设Q(n，﹣n2+2n+3)，
如图2，当∠PAQ＝90°时，过点A作y轴平行线AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，则△AFP∽△GQA，
∴＝，
∴＝，
∴n＝，
如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，
∴＝，
∴＝，
可得n1＝1，n2＝，
如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，
同理可得：＝，
∴n＝，
综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；
(4)如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．
∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，
∴G(n，0)，H(3，3+n)，
∴K(，)，
∴I(，﹣()2+n+3+3)，
∵TM＝IW，
∴＝()2+n+6﹣(3+n)，
∴(n+3)2+2(n+3)﹣12＝0，
∴n1＝﹣4+，n2＝﹣4﹣(舍去)，
∴G(﹣4+，0)．
【例4】(2022•长春)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx(b是常数)经过点(2，0)．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0)．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；
(3)若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
【分析】(1)把(2，0)代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，可得结论；
(2)判断出点B的横坐标为﹣1，可得结论；
(3)分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．利用图象法解决问题即可；
(4)分三种情形：如图4﹣1中，当点N(0，)时，满足条件，如图4﹣2中，当点N(0，﹣)，满足条件，如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，分别求出点A的坐标，可得结论．
【解答】解：(1)把(2，0)代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x；
(2)如图1中，
∵y＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1，
∴抛物线的顶点为(1，﹣1)，对称轴为直线x＝1，
∵BC∥x，
∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4，
∴点B的横坐标为﹣1，
∴B(﹣1，3)；
(3)如图2中，
∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，
∴PQ＝PQM＝MN＝2m，
∴正方形的边MN在y轴上，
当点M与O重合时，
由，
解得或，
∴A(3，3)，
观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝，观察
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