中考数学二轮压轴培优专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题（教师版）

专题14二次函数与线段数量关系最值定值问题 图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题． 产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例． 一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错． 【例1】(2022•武汉模拟)抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积； (3)如图2，P为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点P作直线交抛物线于点E，F，交x轴于点M，求的值． 【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案； (2)运用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝﹣x+1，根据CD∥AB，设直线CD的解析式为y＝﹣x+d，C(xC，yC)，D(xD，yD)，联立并整理得x2﹣x+1﹣d＝0，利用根与系数关系可得：xC+xD＝1，xC•xD＝1﹣d，yC＝﹣xC+d，yD＝﹣xD+d，再由，可得CD＝3AB＝3，建立方程求解即可得出答案； (3)过点E作EG∥x轴交抛物线对称轴于点G，过点F作FH∥x轴交抛物线对称轴于点H，则AM∥EG∥FH，可得：＝，＝，设直线PM的解析式为y＝kx+n，可得：P(1，k+n)，M(﹣，0)，联立并整理得：整理得：x2﹣(k+2)x+1﹣n＝0，利用根与系数关系可得：xE+xF＝k+2，xE•xF＝1﹣n，再分两种情况：k＜0或k＞0，分别求出的值即可． 【解答】解：(1)∵抛物线y＝x2﹣2x+m＝(x﹣1)2+m﹣1的顶点A(1，m﹣1)在x轴上， ∴m﹣1＝0， ∴m＝1， ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1； (2)∵y＝x2﹣2x+1＝(x﹣1)2， ∴顶点A(1，0)， 令x＝0，得y＝1， ∴B(0，1)， 在Rt△AOB中，AB＝＝＝， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1， ∵CD∥AB， ∴设直线CD的解析式为y＝﹣x+d，C(xC，yC)，D(xD，yD)， 则x2﹣2x+1＝﹣x+d， 整理得：x2﹣x+1﹣d＝0， ∴xC+xD＝1，xC•xD＝1﹣d， yC＝﹣xC+d，yD＝﹣xD+d， ∴yC﹣yD＝(﹣xC+d)﹣(﹣xD+d)＝xD﹣xC， ∵， ∴CD＝3AB＝3， ∴CD2＝(3)2＝18， ∴(xC﹣xD)2+(yC﹣yD)2＝18，即(xC﹣xD)2+(xD﹣xC)2＝18， ∴(xC﹣xD)2＝9， ∴(xC+xD)2﹣4xC•xD＝9，即1﹣4(1﹣d)＝9， 解得：d＝3， ∴x2﹣x﹣2＝0， 解得：x＝2或﹣1， ∴C(2，1)，D(﹣1，4)， 设直线CD：y＝﹣x+3交y轴于点K， 令x＝0，则y＝3， ∴K(0，3)， ∴OK＝3， ∴S△COD＝OK×|xC﹣xD|＝×3×3＝； (3)如图2，过点E作EG∥x轴交抛物线对称轴于点G，过点F作FH∥x轴交抛物线对称轴于点H， 则AM∥EG∥FH， ∴＝，＝， 设直线PM的解析式为y＝kx+n， 当x＝1时，y＝k+n， ∴P(1，k+n)， 当y＝0时，kx+n＝0， 解得：x＝﹣， ∴M(﹣，0)， ∴AM＝|1﹣(﹣)|＝||， 由x2﹣2x+1＝kx+n， 整理得：x2﹣(k+2)x+1﹣n＝0， 则xE+xF＝k+2，xE•xF＝1﹣n， ∵EG＝|xE﹣1|，FH＝|xF﹣1|， ∴+＝+＝， 当k＜0时，点E、F、M均在对称轴直线x＝1左侧， ∴EG＝|xE﹣1|＝1﹣xE，FH＝|xF﹣1|＝1﹣xF，AM＝||＝， ∴+＝＝＝＝， ∴+＝AM×(+)＝×＝1； 当k＞0时，点E、F、M均在对称轴直线x＝1右侧， ∴EG＝|xE﹣1|＝xE﹣1，FH＝|xF﹣1|＝xF﹣1，AM＝||＝﹣， ∴+＝＝＝＝﹣， ∴+＝AM×(+)＝﹣×(﹣)＝1； 综上所述，的值为1． 【例2】(2022•黄石)如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)A，B，C三点的坐标为 　(﹣2，0)　，　(3，0)　，　(0，4)　． (2)连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； (3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【分析】(1)令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，所以x＝﹣2或x＝3，由此可得结论； (2)①由题意可知，P(1，4)，所以CP＝1，AB＝5，由平行线分线段成比例可知，＝＝． ②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．设点P的横坐标为m，则P(m，﹣m2+m+4)，Q(m2﹣m，﹣m2+m+4)．所以PQ＝m﹣(m2﹣m)＝﹣m2+m，因为PQ∥AB，所以＝＝＝﹣(m﹣)2+，由二次函数的性质可得结论； (3)假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，由∠BCO+2∠PCB＝90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M(8，0)，所以直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，可得结论． 【解答】解：(1)令x＝0，则y＝4， ∴C(0，4)； 令y＝0，则﹣x2+x+4＝0， ∴x＝﹣2或x＝3， ∴A(﹣2，0)，B(3，0)． 故答案为：(﹣2，0)；(3，0)；(0，4)． (2)①∵CP∥x轴，C(0，4)， ∴P(1，4)， ∴CP＝1，AB＝5， ∵CP∥x轴， ∴＝＝． ②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4． 设点P的横坐标为m， 则P(m，﹣m2+m+4)，Q(m2﹣m，﹣m2+m+4)． ∴PQ＝m﹣(m2﹣m)＝﹣m2+m， ∵PQ∥AB， ∴＝＝＝﹣(m﹣)2+， ∴当m＝时，的最大值为． 另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解． (3)假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3． 过点C作CF∥x轴交抛物线于点F， ∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCF+∠MCF＝90°， ∴∠MCF＝∠BCP， 延长CP交x轴于点M， ∵CF∥x轴， ∴∠PCF＝∠BMC， ∴∠BCP＝∠BMC， ∴△CBM为等腰三角形， ∵BC＝5， ∴BM＝5，OM＝8， ∴M(8，0)， ∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4， 令﹣x2+x+4＝﹣x+4， 解得x＝或x＝0(舍)， ∴存在点P满足题意，此时m＝． 【例3】(2022•河南三模)如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m． ①请用含m的代数式表示线段DF的长； ②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标． 【分析】(1)由抛物线y＝ax2+bx﹣4，可知c＝﹣4，故OC＝4，而OB＝2OC＝4OA，则OA＝2，OB＝8，确定点A、B、C的坐标，再用待定系数法求函数解析式即可； (2)①先求出直线BC的解析式，再设点D为(m，m2﹣m﹣4)，可得F(m，m﹣4)，即可得出线段DF的长； ②证明△AOC∽△FGD，根据相似三角形的性质可得DF＝3，再根据①得出的式子求出m的值，即可求解． 【解答】解：(1)在抛物线y＝ax2+bx﹣4中， 令x＝0，则y＝﹣4， ∴点C的坐标为(0，﹣4)， ∴OC＝4， ∵OB＝2OC＝4OA， ∴OA＝2，OB＝8， ∴点A为(﹣2，0)，点B为(8，0)， 则把点A、B代入解析式，得： ， 解得：， ∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4； (2)①设直线BC的解析式为y＝mx+n，则 把点B、C代入，得， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x﹣4； 设点D为(m，m2﹣m﹣4)，可得F(m，m﹣4)， ∴DF＝m﹣4−(m2﹣m﹣4)＝﹣m2+2m； ②∵点A为(﹣2，0)，点B为(8，0)，点C的坐标为(0，﹣4)， ∴AC2＝22+42＝20，BC2＝82+42＝80，AB2＝(8+2)2＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝∠ACO+∠OCF＝90°， ∵DG∥AC， ∴∠DGC＝∠ACB＝90°， ∴∠DGF＝∠AOC＝90°， ∴∠DFG+∠FDG＝90°， ∵DE⊥x轴， ∴DE∥y轴， ∴∠OCF＝∠DFG， ∵∠ACO+∠OCF＝90°，∠DFG+∠FDG＝90°， ∴∠ACO＝∠FDG， ∴△AOC∽△FGD， ∴， ∵AC2＝22+42＝20， ∴AC＝2， ∵DG＝AC， ∴DG＝， ∴， ∴DF＝3， ∵DF＝﹣m2+2m， ∴﹣m2+2m＝3，解得m1＝2，m2＝6， ∴点D的坐标为(2，﹣6)或(6，﹣4)． 【例4】(2021•大庆)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F的坐标； ②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点． 证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值； (3)点C(3，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标． 【分析】(1)求出B(2，﹣1)，A(4，0)，再将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，即可求解解析式； (2)①设F(2，m)，G(x，x2﹣x)，由已知可得(x﹣2)2+＝，整理得到m(m﹣x2+2x)＝0，因为任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等，所以m＝0，即可求F坐标；②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M(xM，yM)，N(xN，yN)，联立直线与抛物线解析式得x2﹣(4+4k)x+8k＝0，则有xM+xN＝4+4k，xM•xN＝8k，yM+yN＝4k2，yM•yN＝﹣4k2，由①可得+＝+＝1； (3)作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，求出B'(﹣2，﹣1)，C'(3，)，可得直线B'C'的解析为y＝x﹣，则可求Q(0，﹣)，P(，0)． 【解答】解：(1)∵顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)， ∴B(2，﹣1)， ∴A(4，0)， 将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c， 得到，解得， ∴y＝x2﹣x； (2)①设F(2，m)，G(x，y)， ∴G点到直线y＝﹣2的距离