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专题20二次函数与对称变换综合问题
【例1】(2021秋•开化县月考)定义:关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”.
例如:y=(x﹣h)2﹣k的“镜像抛物线”为y=﹣(x﹣h)2+k.
(1)请写出抛物线y=(x﹣2)2﹣4的顶点坐标 (2,﹣4) ,及其“镜像抛物线”y=﹣(x﹣2)2+4的顶点坐标 (2,4) .写出抛物线的“镜像抛物线”为 .
(2)如图,在平面直角坐标系中,点B是抛物线L:y=ax2﹣4ax+1上一点,点B的横坐标为1,过点B作x轴的垂线,交抛物线L的“镜像抛物线”于点C,分别作点B,C关于抛物线对称轴对称的点B',C',连接BC,CC',B'C',BB'.
①当四边形BB'C'C为正方形时,求a的值.
②求正方形BB'C'C所含(包括边界)整点个数.(说明:整点是横、纵坐标均为整数的点)
【分析】(1)根据定义直接求解即可;
(2)①分别求出B(1,1﹣3a),C(1,3a﹣1),B'(3,1﹣3a),C'(3,3a﹣1),由正方形的性质可得BB'=BC,即2=6a﹣2,求出a即可;
②由①求出B(1,﹣1),C(1,1),B'(3,﹣1),C'(3,1),在此区域内找出所含的整数点即可.
【解答】解:(1)y=(x﹣2)2﹣4的顶点坐标为(2,﹣4),y=﹣(x﹣2)2+4的顶点坐标为(2,4),
的“镜像抛物线”为,
故答案为:(2,﹣4),(2,4),;
(2)①∵y=ax2﹣4ax+1=a(x﹣2)2+1﹣4a,
∴抛物线L的“镜像抛物线”为y=﹣a(x﹣2)2﹣1+4a,
∵点B的横坐标为1,
∴B(1,1﹣3a),C(1,3a﹣1),
∵抛物线的对称轴为直线x=2,
∴B'(3,1﹣3a),C'(3,3a﹣1),
∴BB'=2,BC=6a﹣2,
∵四边形BB'C'C为正方形,
∴2=6a﹣2,
∴a=;
②∵a=,
∴B(1,﹣1),C(1,1),B'(3,﹣1),C'(3,1),
∴正方形BB'C'C所含(包括边界)整点有(1,﹣1),(1,1),(3,﹣1),(3,1),(1,0),(3,0),(2,﹣1),(2,0),(2,1)共9个.
【例2】(2022•巩义市模拟)已知,二次函数y=ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于C点,点A的坐标为(﹣1,0),且 OB=OC.
(1)求二次函数的解析式;
(2)当0≤x≤4 时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少?
(3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P,使△PCC'与△POB相似,且PC与PO是对应边?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)根据OB=OC可得B点的坐标为(3,0),把A、B的坐标代入二次函数y=ax2+bx﹣3,求出a、b的值即可;
(2)求出二次函数的顶点坐标为(1,﹣4),根据二次函数的性质即可得出答案;
(3)先设出P的坐标,根据相似三角形的性质列出方程,解出方程即可得到点P的坐标.
【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣3 的图象与y轴交于C点,
∴C(0,﹣3).
∵OB=OC,点A在点B的左边,
∴B(3,0).
∵点A的坐标为(﹣1,0),
由题意可得,
解得:,
∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)∵二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴二次函数顶点坐标为(1,﹣4),
∴当x=1时,y最小值=﹣4,
∵当0≤x≤1时,y随着x的增大而减小,
∴当x=0时,y=﹣3,
∵当1<x≤4时,y随着x的增大而增大,
∴当x=4时,y=5.
∴当0≤x≤4时,函数的最大值为5,最小值为﹣4;
(3)在y轴上存在点P,使△PCC'与△POB相似,理由如下:
设P(0,m),如图,
∵点C'与点C关于该抛物线的对称轴直线x=1对称,C(0,﹣3).
∴C′(2,﹣3).
∴CC'∥OB,
∵△PCC'与△POB相似,且PC与PO是对应边,
∴,
即:,
解得:m=﹣9或m=﹣,
∴存在,P(0,﹣9)或P(0,﹣).
【例3】(2022•济宁二模)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,已知B点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)图1中,点P为抛物线上的动点,且位于第二象限,过P,B两点作直线l交y轴于点D,交直线AC于点E.是否存在这样的直线l:以C,D,E为顶点的三角形与△ABE相似?若存在,请求出这样的直线l的解析式;若不存在,请说明理由.
(3)图2中,点C和点C'关于抛物线的对称轴对称,点M在抛物线上,且∠MBA=∠CBC',求M点的横坐标.
【分析】(1)利用待定系数法求解析式即可;(2)存在直线l,证明△ACO≌△DBO(ASA)得到OA=OD,求出A点坐标即可求出D点坐标,再利用待定系数法求直线解析式即可;
(3)连接BM,CC′,作C′H⊥BC交BC于H,求出tan∠MBA=,进一步可求出N(0,)或N(0,﹣)分情况讨论,即可求出M的横坐标为﹣或﹣.
【解答】(1)解:抛物线y=﹣x2+bx+c过B(3,0),C(0.3),
∴,
解得:,
∴函数解析式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)解:存在直线l使得以C,D,E为顶点的三角形与△ABE相似,
当l⊥AC时,以C,D,E为顶点的三角形与△ABE相似,
∴∠ACD=∠EBO,
在Rt△ACO和Rt△DBO中,
,
∴ΔΑCO≌△DBO(ASA),
∴OA=OD,
解﹣x2+2x+3=0,
得:x1=3(不符合题意,舍去),x2=﹣1,
∴A(﹣1,0),
∴D(0,1),
设直线的解析式为:y=kx+b,
将B(3,0),D(0,1)代入解析式可得,
解得:,
∴直线的解析式为:y=x+1;
(3)解:连接BM,CC′,作C′H⊥BC交BC于H,
∵抛物线对称轴为直线:x==1,
∴CC′=2,
∵OB=OC,
∴∠BCO=45°,
∴∠C′CB=45°,
∵C′H⊥BC,CC′=2,
∴C′H=CH=,
∵OB=OC=3,
∴BC=3,
∴BH=,
∴tan∠CBC′=,
∵∠MBA=∠CBC′,
∴tan∠MBA=,
∴ON=,
∴N(0,)或N(0,﹣),
当N(0,),如图:
∵B(3,0),
∴,
∴,
∴直线BN解析式为:y=x+,
解方程﹣x2+2x+3=﹣x+,得:(不符合题意,舍去),
∴M的横坐标为﹣;
当N(0,﹣),如图:
∵B(3,0),
∴,
∴,
∴直线BN解析式为:y=x﹣,
解方程﹣x2+2x+3=x﹣,
得:(不符合题意,舍去),
∴M的横坐标为﹣,
综上所述:M的横坐标为﹣或﹣.
【例4】(2022•合肥四模)已知抛物线L1:y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣3,0),B(1,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)若两个抛物线的交点在x轴上,且顶点关于x轴对称,则称这两个抛物线为“对称抛物线”,求抛物线L1对称抛物线L2的解析式;
(3)在(2)的条件下,点M是x轴上方的抛物线L2上一动点,过点M作MN⊥x轴于点N,设M的横坐标为m,记W=MN﹣2ON,求W的最大值.
【分析】(1)将点A(﹣3,0),B(1,0)代入y=ax2+bx﹣3,即可求解;
(2)求出顶点的对称点为(﹣1,4),设抛物线L2的解析式为y=n(x+1)2+4,再将抛物线与x轴的交点为(﹣3,0)或(1,0)代入,即可求解析式;
(3)由题意可知M(m,﹣m2﹣2m+3),N(m,0),则MN=﹣m2﹣2m+3,ON=|m|,分两种情况讨论;当﹣3<x≤0时,W=﹣m2+3,当m=0时,W有最大值3;当0≤x<1时,W=﹣(m+2)2+7,当m=0时,W有最大值3.
【解答】解:(1)将点A(﹣3,0),B(1,0)代入y=ax2+bx﹣3,
∴,
解得,
∴y=x2+2x﹣3;
(2)令y=0,则x2+2x﹣3=0,
解得x=﹣3或x=1,
∴抛物线与x轴的交点为(﹣3,0)或(1,0),
∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴顶点为(﹣1,﹣4),
∴顶点关于x轴的对称点为(﹣1,4),
设抛物线L2的解析式为y=n(x+1)2+4,
∵抛物线经过点(﹣3,0)或(1,0),
∴n=﹣1,
∴y=﹣x2﹣2x+3;
(3)∵点M是x轴上方的抛物线L2上一动点,
∴﹣3<x<1,
∵M的横坐标为m,
∴M(m,﹣m2﹣2m+3),N(m,0),
∴MN=﹣m2﹣2m+3,ON=|m|,
当﹣3<x≤0时,W=MN﹣2ON=﹣m2﹣2m+3+2m=﹣m2+3,
∴当m=0时,W有最大值3;
当0≤x<1时,W=MN﹣2ON=﹣m2﹣2m+3﹣2m=﹣m2﹣4m+3=﹣(m+2)2+7,
∴当m=0时,W有最大值3;
综上所述:W的最大值为3.
一.解答题(共20题)
1.(2022•广陵区二模)已知二次函数y=﹣mx2﹣4mx﹣4m+4(m为常数,且m>0).
(1)求二次函数的顶点坐标;
(2)设该二次函数图象上两点A(a,ya)、B(a+2,yb),点A和点B间(含点A,B)的图象上有一点C,将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h.
①当m=1时,若点A和点B关于二次函数对称轴对称,求h的值;
②若存在点A和点B使得h的值是4,则m的取值范围是 0<m≤4 .
【分析】(1)利用配方法求出顶点坐标即可.
(2)①根据A,B关于抛物线的对称轴对称,求出a的值,在求出﹣3≤x≤﹣1时,二次函数的最大值,最小值,可得结论.
②分四种情形:当a+2≤﹣2,即a≤﹣4时,当﹣4<a≤﹣3时,当﹣3<a≤﹣2时,当a>﹣2时,分别求出满足条件的m的取值范围,可得结论.
【解答】解:(1)y=﹣mx2﹣4mx﹣4m+4
=﹣m(x2+4x+4)+4
=﹣m(x+2)2+4,
∴二次函数的顶点坐标为(﹣2,4).
(2)①∵点A、B关于对称轴对称=﹣2,
∴a=﹣3,
当m=1时,y=﹣x2﹣4x﹣4+4=﹣x2﹣4x,
则当x=﹣3(或x=﹣1)时,y最小值=3,
当x=﹣2时,y最大值=4,
∴h=1.
②结论:0<m≤4,理由如下:
当a+2≤﹣2,即a≤﹣4时,
h=yb﹣ya
=﹣m(a+2+2)2+4﹣[﹣m(a+2)2+4]
=﹣4m(a+3),
∵h=4,
∴4=﹣4m(a+3),
∴a=﹣﹣3≤﹣4,
∵m>0,
解得m≤1,
当﹣4<a≤﹣3时,
h=4﹣ya
=4﹣[﹣m(a+2)2+4]
=m(a+2)2,
∴可得a=﹣﹣2,
∴﹣4<﹣﹣2≤﹣3,
解得1<m≤4,
当﹣3<a≤﹣2时,
h=4﹣yb
=4﹣[﹣m(a+2+2)2+4]
=m(a+4)2,
可得a=﹣4,
∴﹣3<﹣4≤﹣2,
不等式无解.
当a>﹣2时,
h=ya﹣yb
=﹣m(a+2)2+4﹣[﹣m(a+2+2)2+4]
=4m(a+3),
可得a=﹣3,
∴﹣3>﹣2,
∴m<1,
综上所述,满足条件的m的值为0<m≤4.
故答案为:0<m≤4.
2.(2022•绿园区二模)在平面直角坐标系中,已知某二次函数的图象同时经过点A(0,3)、B(2m,3)、C(m,m+3).其中,m≠0.
(1)当m=1时.
①该二次函数的图象的对称轴是直线 x=1 .
②求该二次函数的表达式.
(2)当|m|≤x≤|m|时,若该
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