最小二乘法（教学设计）

1.8最小二乘法（教学设计） 【教材分析】 本节课使用的教材是北师大版数学必修三第一章《统计案例》第8节《最小二乘法》。在之前，学生已经学习了相关性，理解并掌握了变量的相关关系，清楚相关关系中的线性相关等基础知识。 【学情分析】 所授课班级学生思维活跃，积极刻苦，但在阅读理解能力上相对偏弱，运算能力不强，本课为让学生提高相应理解及计算能力已安排学生提前自主预习。 【教学目标】 知识方法 1. 通过典型案例的探究，了解最小二乘法的基本思想、方法及求解步骤； 2. 会根据实际问题，判断两个分类变量间是否存在相关关系，是否是线性相关关系； 3. 能利用公式求出线性回归方程并进行预测评估。 核心素养 1. 了解最小二乘法的基本思想、推理方法及实际意义。 2. 体会线性回归方程在现实生活中的作用，进一步认识数学的应用价值。 【教学重点】 1. 最小二乘法的基本思想及应用。 2. 线性回归方程的求解。 【教学难点】 1. 最小二乘法的基本思想的理解。 2. 线性回归方程的求解中的运算问题。 【教学工具】 多媒体、平板电脑 【教学方法】 本节课主要采用互动探究式的教学方法，通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，体现数学应用，并以问题串的方式进行驱动，让学生能够充分了解最小二乘法的基本思想及应用，避免单纯记忆和机械套用公式进行计算；能熟练准确的求出线性回归方程并利用其对整体进行预测评估。 【教学过程】 一、情境引入 【问题1】具有线性相关关系的散点大致分布在一条直线附近.如何确定这条直线比较合理？ 【问题2】思考2.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi） 【问题3】怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 【设计意图】通过问题激发学生的学习兴趣，引出所要研究的问题最小二乘法，并同学生一起找出最小二乘法的基本思想及推理过程。 二、抽象概括 最小二乘法 如果有n个点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度:[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2. 使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法。 . 三、知识推广 线性回归直线方程：如果用表示，用表示，则可以求得b＝＝ ＝ . a＝－b.这样得到的直线方程称为线性回归放出，a，b是线性回归方程的系数． 四、典例精析 例题1：某市近5年的煤气消耗量与使用煤气户数如下表： 年份 2008 2009 2010 2011 2012 x(万户) 1 1.1 1.5 1.6 1.8 y(百万立方米) 6 7 9 11 12 (1)检验是否线性相关；(2)求y对x的回归直线方程． 例题2：下面是两个变量的一组数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 4 9 16 25 36 49 64 请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程. 练习 【设计意图】给学生完整示范如何利用最小二乘法求解线性回归方程。让学生直接对照公式理解求解过程。 五、练习巩固 练1： 某车间为了规定工时定额,需要确定加工某零件所花费的时间,为此做了四次实验,得到的数据如下: 零件个数x 2 3 4 5 加工时间y/时 1.5 2.5 3 4 (1)求出y关于x的线性回归方程. (2)试预测加工10个零件需要多少时间? 练2：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对应数据. x/吨 3 4 8 6 y/吨 2.5 3 4 4.5 (1)请画出表中数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程y=bx+a; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的回归直线方程,预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 【设计意图】让学生自己动手充分理解并掌握如何利用最小二乘法求解线性回归方程，让学生再求解中提高运算能力，并用平板提交解题过程，老师进行讲评。 六、拓展提升 例题3 ：已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点中心 为(4,5)，则回归直线方程为（ ） A.y＝1.23x＋4 B.y＝1.23x＋5 C.y＝1.23x＋0.08 D.y＝0.08x＋1.23 例题4 ：对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如下: x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y=10.5x+a,据此模型来预测当x=20时,y的估计值为 (　　) A.210 B.210.5 C.211.5 D.212.5 相应练习3、4由于比较简单，直接让学生利用多媒体回答。 【设计意图】理解并掌握回归直线一定过样本中心点的意义及在实际题目中的应用。 七、作业布置 1.默写线性回归方程系数公式及线性回归方程恒过点的坐标。 2.课本第70页第8题，第71页第5，6题。 【设计意图】让学生课后充分熟练公式。 八、课堂小结 1.最小二乘法； 2.回归直线方程。 【板书设计】 课题：数学归纳法 注： 例1： 数学归纳法的 步骤： 最小二乘法 1、最小二乘法； 2、回归直线方程。