资源描述
2021年青海省西宁市大通县高考三模
数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合A＝{x|﹣4＜﹣x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x+5）＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣3，2） C．（2，4） D．[﹣3，2）
3．已知函数f（x）＝，则f（f（1））＝（ ）
A．﹣17 B．1 C．4 D．82
4．若双曲线的离心率为2，则其实轴长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cosωx的部分图象如图所示，则（ ）
A．A＝1，ω＝ B．A＝2，ω＝ C．A＝1，ω＝ D．A＝2，ω＝
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3sinA＝2sinC，b＝5，cosC＝﹣，则a＝（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．π+1 B．（6+）π+1 C．π+ D．（6+）π+
10．函数在[2，+∞）上的最小值为（ ）
A． B．e2 C． D．2e
11．设P为椭圆C：＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（ ）
A．（x﹣2）2+y2＝28 B．（x+2）2+y2＝7
C．（x+2）2+y2＝28 D．（x﹣2）2+y2＝7
12．设a＝log30.4，b＝log23，则（ ）
A．ab＞0且a+b＞0 B．ab＜0且a+b＞0
C．ab＞0且a+b＜0 D．ab＜0且a+b＜0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，的夹角为120°，且||＝1，||＝4，则•＝ ．
14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为 ．
15．已知tanα＝2，且＝mtan2α，则m＝ ．
16．设O1为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上．若两个底面的面积之和为8π，O1A与底面所成角为60°，则球O的表面积为 ．
三、解答题：共70分，解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2+5n．
（1）求证：数列{}为等比数列；
（2）设bn＝2Sn﹣3n，求数列{}的前n项和Tn．
18．某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如图频率分布直方图（分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]），并将分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
[0，60）
[60，80）
[80，90）
[90，100]
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为基本满意的有340人．
（1）求表中a的值及不满意的人数；
（2）记A表示事件“满意度评分不低于80分”，估计A的概率；
（3）若师生的满意指数不低于0.8，则该校可获评“教学管理先进单位”．根据你所学的统计知识，判断该校是否能获评“教学管理先进单位”？并说明理由．（注：满意指数η＝）
19．如图，四边形ABEF是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的一个截面，此截面与棱CC1交于点E，AB＝CE＝2，C1E＝BG＝1，ME⊥BE，其中G，M分别为棱BB1，B1C1上一点．
（1）证明：平面A1ME⊥平面ABEF；
（2）N为线段BC上一点，若四面体A1B1MG与四棱锥N﹣ABEF的体积相等，求BN的长．
20．已知p＞0，抛物线C1：x2＝2py与抛物线C2：y2＝2px异于原点O的交点为M，且抛物线C1在点M处的切线与x轴交于点A，抛物线C2在点M处的切线与x轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）若直线y＝x+1与抛物线C1交于点P，Q，且|PQ|＝2，求抛物线C1的方程；
（2）证明：△BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值．
21．已知函数f（x）＝﹣ax2+lnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若∃x∈（1，+∞），f（x）＞﹣a，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的参数方程为为参数）
（1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣2sinθ）＝4，若C1上的点P对应的参数为，点Q上在C2，点M为PQ的中点，求点M到直线l距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝x2+2x，g（x）＝|x﹣1|﹣|x+3|．
（1）求不等式g（x）≤3的解集；
（2）若关于x的不等式f（m）+m≤g（x）的解集非空，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
解：令z＝，
则．
∴复数（i为虚数单位）的虚部为﹣．
故选：A．
2．已知集合A＝{x|﹣4＜﹣x≤3}，B＝{x|（x﹣2）（x+5）＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣3，2） C．（2，4） D．[﹣3，2）
解：A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|﹣5＜x＜2}；
∴A∩B＝{x|﹣3≤x＜2}＝[﹣3，2）．
故选：D．
3．已知函数f（x）＝，则f（f（1））＝（ ）
A．﹣17 B．1 C．4 D．82
解：函数f（x）＝，
∴f（1）＝1+31＝4，
f（f（1））＝f（4）＝2×4﹣7＝1．
故选：B．
4．若双曲线的离心率为2，则其实轴长为（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线的离心率为2，
e＝＝，解得a＝，
则其实轴长为：．
故选：D．
5．如图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：利用面积型几何概型公式可得，
圆形铜片的面积S＝4π，中间方孔的面积为S＝1，
油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，
即油滴正好落入孔中的概率为p＝．
故选：D．
6．已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝cosωx的部分图象如图所示，则（ ）
A．A＝1，ω＝ B．A＝2，ω＝ C．A＝1，ω＝ D．A＝2，ω＝
解：由图象可知，A＝1，＝1.5，
∴A＝2，T＝6，
又6＝T＝，
∴ω＝，
故选：B．
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3sinA＝2sinC，b＝5，cosC＝﹣，则a＝（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
解：∵3sinA＝2sinC，
∴可得：3a＝2c，
∵设a＝2k（k＞0），则c＝3k．
∴由余弦定理得：cosC＝＝＝﹣，
∴则k＝3（k＝﹣舍去），
∴从而a＝6．
故选：C．
8．函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
解：因为f（x）＝，
此函数定义域为R，
又因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），
即函数y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，
故排除答案A，C，
当﹣1＜x＜0时，
x3﹣x＞0，x2+1＞0，
x3﹣x﹣（x2+1）＝x3﹣x2﹣x﹣1＝x2（x﹣1）﹣（x+1）＜0，
所以，
故排除答案D，
故选：B．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．π+1 B．（6+）π+1 C．π+ D．（6+）π+
解：由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成．
该几何体的表面积S＝＝．
故选：A．
10．函数在[2，+∞）上的最小值为（ ）
A． B．e2 C． D．2e
解：f′（x）＝，
令f′（x）＞0，解得：x＞3，
令f′（x）＜0，解得：x＜3，
故f（x）在[2，3）递减，在（3，+∞）递增，
故f（x）最小值＝f（3）＝，
故选：A．
11．设P为椭圆C：＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（ ）
A．（x﹣2）2+y2＝28 B．（x+2）2+y2＝7
C．（x+2）2+y2＝28 D．（x﹣2）2+y2＝7
解：∵P为椭圆C：＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，
延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝2，|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|+|PQ|＝|F1Q|＝2，
∴Q的轨迹是以F1（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程为（x+2）2+y2＝28．
故选：C．
12．设a＝log30.4，b＝log23，则（ ）
A．ab＞0且a+b＞0 B．ab＜0且a+b＞0
C．ab＞0且a+b＜0 D．ab＜0且a+b＜0
解：∵；
∴﹣1＜log30.4＜0；
又log23＞1；
即﹣1＜a＜0，b＞1；
∴ab＜0，a+b＞0．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，的夹角为120°，且||＝1，||＝4，则•＝ ﹣2 ．
解：由向量的数量积公式得：
•＝||||cos120°＝1×4×（﹣）＝﹣2，
故答案为：﹣2
14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为 7 ．
解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（﹣1，9），
化z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为7．
故答案为：7．
15．已知tanα＝2，且＝mtan2α，则m＝ ．
解：∵tanα＝2，
∴＝＝＝3
∴mtan2α＝，
即m＝﹣．
故答案为：﹣．
16．设O1为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上．若两个底面的面积之和为8π，O1A与底面所成角为60°，则球O的表面积为 28π ．
解：如图，
设该圆柱底面半径为r，高为h，则2πr2＝8π，
，解得r＝2，，
则球O的半径，
故球O的表面积为4πR2＝28π．
故答案为：28π．
三、解答题：共70分，解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2+
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