资源描述
合肥市2021年高三第三次教学质量检测
数学试题（文科）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1. 答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑..如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4. 考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 已知全集，集合，之间关系的Venn图如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设正项等比数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下面茎叶图所示.以下结论正确的是（ ）
A. 乙成绩的极差比甲成绩的极差小
B. 甲成绩的众数比乙成绩的中位数大
C. 乙成绩的方差比甲成绩的方差小
D. 甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小
5. 在平面直角坐标系中，已知点，，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
6. 已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的长度为（ ）
A. B. C. 8 D.
8. 下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知，，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
9. 若函数满足，则的值等于（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
10. 某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加髙加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔才有一辆到达施工现场投入工作，要在内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（ ）
A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆
11. 在三棱锥中，，，.若三棱锥体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 若函数只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13. 命题：“，”的否定是___________.
14. 在中，，若，则的值是___________.
15. 已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则抛物线的方程为___________．
16. 已知函数是奇函数，且存在正数使得函数在上单调递增.若函数在区间上取得最小值时值有且仅有一个，则的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角，，对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
18. 某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在，两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查.
（1）求图中的值并估算这100位学生学习的平均时长；
（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率.
19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若点满足，且平面，求的值.
20. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求证：当时，；
（2）求证：
21. 在平面直角坐标系中，已知点、.过点的直线与椭圆分别交于点、.
（1）若直线与轴垂直，求的面积；
（2）记直线、、的斜率分别为、、，求证：、、成等差数列.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系，直线l过点．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）设直线l的倾斜角为，写出其参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，且线段的中点为M，求直线l的方程．
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若在，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
合肥市2021年高三第三次教学质量检测
数学试题（文科） 答案版
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1. 答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑..如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4. 考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
2. 已知全集，集合，之间关系的Venn图如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3. 设正项等比数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下面茎叶图所示.以下结论正确的是（ ）
A. 乙成绩的极差比甲成绩的极差小
B. 甲成绩的众数比乙成绩的中位数大
C. 乙成绩的方差比甲成绩的方差小
D. 甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小
【答案】D
5. 在平面直角坐标系中，已知点，，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
6. 已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7. 如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的长度为（ ）
A. B. C. 8 D.
【答案】B
8. 下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地处销售.路径1：先集中到处，再沿公路运送；路径2：先集中到处，再沿公路运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至处所走路程一样远.已知，，若这条界线是曲线的一部分，则曲线为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
【答案】D
9. 若函数满足，则的值等于（ ）
A. 2 B. 0 C. D.
【答案】A
10. 某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加髙加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔才有一辆到达施工现场投入工作，要在内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（ ）
A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆
【答案】C
11. 在三棱锥中，，，.若三棱锥体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
12. 若函数只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13. 命题：“，”的否定是___________.
【答案】，．
14. 在中，，若，则的值是___________.
【答案】
15. 已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则抛物线的方程为___________．
【答案】
16. 已知函数是奇函数，且存在正数使得函数在上单调递增.若函数在区间上取得最小值时值有且仅有一个，则的取值范围是__________.
【答案】
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角，，对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
18. 某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在，两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查.
（1）求图中的值并估算这100位学生学习的平均时长；
（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率.
【答案】（1），平均时长为13.5小时；（2）.
19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若点满足，且平面，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
20. 已知函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求证：当时，；
（2）求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
21. 在平面直角坐标系中，已知点、.过点的直线与椭圆分别交于点、.
（1）若直线与轴垂直，求的面积；
（2）记直线、、的斜率分别为、、，求证：、、成等差数列.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如
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