湖南省永州市2021届高三高考数学三模卷Word版含解析

2021年湖南省永州市高考数学三模试卷 一、选择题（共8小题）. 1．已知集合M，N是实数集R的子集，若N＝{1，2}，且M∩∁RN＝∅，则符合条件的集合M的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知i为虚数单位，复数z＝（2+i）（1+ai），a∈R，若z∈R，则a＝（　　） A． B． C．2 D．﹣2 3．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（　　） A．18 B．36 C．54 D．64 4．有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为1cm．现往容器中放入一个半径为r（单位：cm）的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则小球半径r的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|＝6，则线段AB的中点到直线x＝﹣的距离为（　　） A．2 B． C．3 D． 6．若某物体作直线运动，路程S（单位：m）与时间t（单位：s）的关系由函数S（t）＝k•e表示．当t＝2s时，该物体的瞬时速度v为﹣m/s，则当t＝6s时，该物体行驶的路程为（　　） A．2e﹣6 B．4e﹣6 C．2e﹣3 D．4e﹣3 7．已知点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则•（+）的最小值为（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 8．设随机变量ξ的分布列如表： ξ 1 2 3 … 2020 2021 p a1 a2 a3 … a2020 a2021 则下列说法错误的是（　　） A．当{an}为等差数列时，a2+a2020＝ B．数列{an}的通项公式可能为an＝ C．当数列{an}满足an＝（n＝1，2，…，2020）时，a2021＝ D．当数列{an}满足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，…，2021）时，a1＝ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知loga2021＞logb2021＞0，则下列各式一定成立的是（　　） A．2021a＞2021b B．＞2 C．＜1 D．（m＞0） 10．若函数f（x）＝sin（2x+φ）对任意的x∈R，都有f（x）≤f（），则（　　） A．f（x）的一个零点为x＝ B．f（x）在区间（，）上单调递减 C．f（x+）是偶函数 D．f（x）的一条对称轴为x＝ 11．某校对“学生性别和喜欢锻炼是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的，女生喜欢锻炼的人数占女生总人数的．若至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，则被调查学生中男生的人数可能为（　　） 附： P（K2≥k0） 0.050 0.010 k0 3.841 6.635 K2＝（n＝a+b+c+d）． A．35 B．40 C．45 D．50 12．已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，则“对于任意的x∈（0，1]，不等式f（aex+2x）+f（xlnx﹣x2）≥0恒成立”的充分不必要条件可以是（　　） A．﹣≤a＜0 B．≤a＜ C．≤a＜ D．≤a＜e 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．写出一个渐近线方程为y＝±x的双曲线标准方程　 　． 14．（﹣a）5的展开式中的常数项为﹣80，则a＝　 　． 15．如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为30米，两堤岸的连接点A，B间的距离为30米，则该月牙潭的面积为　 　平方米． 16．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F分别为BC，AD的中点．将△ABE沿直线AE翻折至△AB1E的位置，若G为B1D的中点，则CG＝　 　；H为AE的中点，在翻折过程中，当△B1HF为正三角形时，三棱锥B1﹣AED的外接球的表面积是　 　． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在平面四边形ABCD中，∠DCB＝45°，DB⊥AD，CD＝2． （1）若BD＝2，求△BDC的面积； （2）若cos∠ADC＝﹣，AD＝，求角A的大小． 18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＝λan+1﹣1，其中λ是不为0的常数． （1）求a2，a3； （2）求出λ的一个值，以使得{an}为等比数列，并证明之． 19．某工厂为A公司生产某种零件，现准备交付一批（1000个）刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸（单位：mm），统计结果如表： 零件的尺寸 （2，2.03] （2.03，2.06] （2.06，2.09] 2.09以上 零件的个数 4 36 56 4 （1）将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06mm的零件数为随机变量X，求X的数学期望； （2）假设该厂生产的该零件的尺寸Y～N（2.069，0.012），根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中，Y＞m的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品．请估计m的值（结果保留三位小数）． 附：若Y～N（μ，σ2），令Z＝，则Z～N（0，1），且P（Z≤1.28）≈0.9． 20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝90°，BD⊥PA，AB＝2BC＝2CD＝4． （1）证明：BD⊥平面PAD； （2）设平面PAD∩平面PBC＝l，l∩平面ABCD＝G，PA＝PD＝2，在线段PG上是否存在点M，使得二面角P﹣DC﹣M的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明由． 21．在圆x2+y2＝4上任取一点T，过点T作x轴的垂线段TD，D为垂足，点P为线段TD的中点． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）斜率为k（k＞0）且不过原点O的直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交曲线C于点M，交直线x＝6于点N，且|OM|2＝|ON|•|OE|，求点H（0，1）到直线l的距离d的最大值． 22．曲线的曲率定义如下：若f′（x）是f（x）的导函数，令φ（x）＝f′（x），则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K＝．已知函数f（x）＝+x（a＞0），g（x）＝（x+1）ln（x+1），且f（x）在点（0，f（0））处的曲率K＝． （1）求a的值，并证明：当x＞0时，f（x）＞g（x）； （2）若bn＝，且Tn＝b1•b2•b3•…•bn（n∈N*），求证：（n+2）Tn＜e． 参考答案 一、选择题（共8小题）. 1．已知集合M，N是实数集R的子集，若N＝{1，2}，且M∩∁RN＝∅，则符合条件的集合M的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：∵N＝{1，2}，M∩∁RN＝∅，∴M⊆N， ∴M＝{1，2}或M＝{1}或M＝{2}或M＝∅， 故选：D． 2．已知i为虚数单位，复数z＝（2+i）（1+ai），a∈R，若z∈R，则a＝（　　） A． B． C．2 D．﹣2 解：因为z＝（2+i）（1+ai）＝2﹣a+（2a+1）i∈R， 所以2a+1＝0， 故． 故选：B． 3．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（　　） A．18 B．36 C．54 D．64 解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论： ①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有A33＝6种情况， 此时有3×6＝18种名次排列情况； ②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A32＝6种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有A33＝6种情况， 此时有6×6＝36种名次排列情况； 则一共有36+18＝54种不同的名次排列情况， 故选：C． 4．有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为1cm．现往容器中放入一个半径为r（单位：cm）的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则小球半径r的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出， 则球的最大体积与圆柱上部的体积相等，小球半径r， 可得＝62π•1， 解得r＝3（cm）． 故选：C． 5．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，若A，B是该抛物线上的两点，且|AF|+|BF|＝6，则线段AB的中点到直线x＝﹣的距离为（　　） A．2 B． C．3 D． 解：∵F是抛物线y2＝4x的焦点，F（1，0），准线方程x＝﹣1， 设A（x1，y1），B（x2，y2） ∴|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝6，即x1+x2＝4， ∴线段AB的中点横坐标为（x1+x2）＝2， ∴线段AB的中点到y轴的距离为2+＝． 故选：B． 6．若某物体作直线运动，路程S（单位：m）与时间t（单位：s）的关系由函数S（t）＝k•e表示．当t＝2s时，该物体的瞬时速度v为﹣m/s，则当t＝6s时，该物体行驶的路程为（　　） A．2e﹣6 B．4e﹣6 C．2e﹣3 D．4e﹣3 解：∵S（t）＝k•e，∴S′（t）＝﹣ke， 根据题意得：﹣ke＝﹣，解得：k＝4． ∴S（6）＝4e＝4e﹣3． 故选：D． 7．已知点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则•（+）的最小值为（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 解：建立平面直角坐标系如下， 则B（0，0），A（0，1），C（1，0），D（1，1）， 设P（x，y），∵＝λ＝λ（1，1），∴x＝λ，y＝λ，∴P（λ，λ）， 则＝（﹣λ，﹣λ），+＝（1﹣2λ，1﹣2λ）， ∴•（+）＝﹣λ（1﹣2λ）×2＝4λ2﹣2λ＝4﹣，λ∈[0，1]， ∴当λ＝时，•（+）取得最小值为﹣， 故选：A． 8．设随机变量ξ的分布列如表： ξ 1 2 3 … 2020 2021 p a1 a2 a3 … a2020 a2021 则下列说法错误的是（　　） A．当{an}为等差数列时，a2+a2020＝ B．数列{an}的通项公式可能为an＝ C．当数列{an}满足an＝（n＝1，2，…，2020）时，a2021＝ D．当数列{an}满足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，…，2021）时，a1＝ 解：对于A，因为{an}为等差数列，所以， 则有a2+a2020＝a1+a2021＝，故选项A正确； 对于B，若数列{an}的通项公式为an＝＝， 则＝，故选项B正确； 对于C，因为an＝，所以， 则有，故选项C错误； 对于D，令Sk＝P（ξ≤k）＝k2ak，则， 故，所以＝＝， 所以an＝＝， 所以S2021＝a1+a2+•••+an＝， 解得，故选项D正确． 故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知loga2021＞l