资源描述
银川六中2021届高三模拟三试题
数学（理科） 试卷
说明：
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟。
注意事项：（请仔细阅读）
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号用黑墨水钢笔或签字笔写在答题卷上；
2．第I卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。
第2卷各题答案未答在指定区域上。
3.参考公式：
锥体的体积公式（其中为底面面积，为高）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 已知集合，则=( )
A． B.
C． D.
2．已知复数，，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D.第四象限
3． 曲线在点（2，8）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知是等差数列，，则该数列前2009项和等于（ ）
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
5．设随机变量～，在某项测量中，已知P＜－则=（ ）
A．0.025 B．0.950 C．0.050 D．0.975
6．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点B（－5，0）和C（5，0），顶点A在椭圆上，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
7．下列有关命题的说法错误的是 ( )
A．命题“若 则 ”的逆否命题为：“若, 则”.
B．“”是“”的充分不必要条件.
C．若为假命题，则、均为假命题.
D．对于命题：使得. 则： 均有
8．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P－ABCDEF，则此正六棱锥的体积为（ ）
A．2 B．8
C． 4 D．12
9．定义向量的一种运算：，其中是向量与的夹角.若，则=（ ）
A．8 B．－8 C．8或－8 D．6
10．若函数满足，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．、是锐角三形的内角，则
B．、是锐角三形的内角，则
C．若， 则
D．若 ，则
11．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，
，若该运动员投篮一次得分情况只有以上三种之一，且他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知x、y满足条件：，则的取值范围是（ ）
A．[1，4] B． [3，9] C．[2，10] D．[2，8]
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．二项式展开式中项的系数是70,则的值为 ．
是
S = 0，x = 1
S = S + f（x）
开 始
x = x +1
x ＞ 2009 ？
输出S
结 束
否
14．已知函数，则右图中的程序框图表示的程序运行的结果是
15．已知是双曲线的两焦点，以线段为边作等边三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为
16．12名同学合影留念，站成了前排4人后排8人，现从后排抽出2人调整到前排，其他的人相对顺序不变，不同的调整方法有 种（用数字作答）。
三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）
17．(本小题满分12分) 已知数列的前n项和为，.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的通项公式.
B
C
A
D
C1
B1
D1
A1
E
F
18．（本小题满分12分）如图，已知长方体中，
，连结，过
点作的垂线交于，交于．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
19．(本小题满分12分)右图为中央电视台经济频道购物街栏目中的“幸运大转轮”，转轮被均分成20份，分别标有5～100的得分（得分都是5的倍数）。每名游戏者至多可以选择转两次，两次得分相加之和若不超过100则为游戏者的得分，若超过100则称“爆掉”，得0分。
（Ⅰ）若游戏者一定转两次，求他“爆掉”的概率；
（Ⅱ）若一游戏者第一次转轮得分65，然后进行第二次转轮，写出他得分X的分布列，并求出得分的期望EX。
20．(本小题满分12分)已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：时，.
21．（本题满分12分）如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（Ⅰ）设点P满足（为实数），
证明：；
（Ⅱ）设直线AB的方程是，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
22．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
A（本小题满分10分）选修4—1：平面几何选讲
如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，直线CF交直线AB于点G。
（Ⅰ）求证：CG是⊙O的切线；
（Ⅱ）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
B（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为,直线的参数方程为
为参数)
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和椭圆C的普通方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C只有一个公共点，求实数的值。
C（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知、、为不全相等的正数，且，求证：
银川六中2009届高三模拟三考试
数学（理科）答案
一、选择题
1． 答案【A】解析：
2．答案【D】解析：对应的点位于第四象限
3．答案【D】解析：切线方程为
直线与坐标轴围成的三角形的面积为
4．答案【C】解析：，
5．答案【B】解析：由正态密度曲线知已知=1－2P＜－
6．答案【B】解析：由正弦定理及椭圆的定义知
7．答案【C】解析：若中有一个为假时则为假，所以C是错误的
8．答案【C】解析：正六棱锥的底面边长为2，高为2，
9．答案【A】解析：
10．答案【B】解析：由知时单调递增，在锐角三角形中
11．答案【D】解析：由题知且
（）
12．答案【B】解析：，由知点（x，y）所在的平面区域，由数形结合知
二、填空题：
13．解析：由
14．解析：程序运行结果表示
==0
15．解析：不仿设是左焦点，且的中点为M，则由，
16．解析：从后排抽出两人有种方法，将抽出的甲在前排四人产生的5个空中排入，有5种方法，再将乙在前排五人产生的6个空中排入，有6种方法，由乘法原理知，共有×5×6=840种不同方法
三、解答题：
17．【解题过程】：(Ⅰ)∵
∴当时，则得 1分
解得 ―――3分
当时，则由 4分
解得 ――6分
(Ⅱ) 当时， ―――7分
―――8分
，中各项不为零 ―――9分
―――10分
是以为首项，为公比的数列 ―――11分
―――12分
18． 【解题过程】：方法一：（Ⅰ）在长方体中，连结和，
B
C
A
D
C1
B1
D1
A1
E
F
∵∴BD⊥AC
又BD⊥，∩=C，∴BD⊥平面，
平面，∴BD⊥① ………………1分
∵⊥平面，BE平面
∴BE⊥，又BE⊥，∩=
∴BE⊥平面，平面 ，∴BE⊥②………………2分
由BE∩BD=B及①②知平面………………4分
（Ⅱ）∵∥AB
∴点到平面的距离等于点B到平面的距离…………5分
∵⊥平面，∴平面⊥平面
又BE⊥于F，∴BF就是点B到平面的距离…………6分
∵Rt△∽Rt△BFC，∴，在Rt△中，易知
∴…………7分
点A到平面的距离是…………8分
（另法）连结,A到平面的距离,
即三棱锥的高,设为h, …………5分
,,由
得: ,,…………7分
点A到平面的距离是．………8分
（Ⅲ）见方法二中（Ⅲ）
方法二：（Ⅰ）证:以A为原点, 分别为轴建立空间直角坐标系,
那么、、、、、、、
，，，………（2分）
设，则：，，，，，，，，，………3分
又 平面．………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
， ………5分
由，令=1，则，………6分
又点A到平面的距离为………8分
（Ⅲ）连结，，平面，
是在平面上的射影，是与平面所成的角，………10分
设，那么，
① ， ② 由①、②得，，………11分
在中，．，因此，与平面所成的角的正弦值是．………12分
19． 【解题过程】：（Ⅰ）游戏者转2次共有20×20=400种不同的情况
若第一次得分为5分，则他“爆掉”有1种情况
若第一次得分为10分，则他“爆掉”有2种情况
若第一次得分为15分，则他“爆掉”有3种情况
……………………
若第一次得分为100，则他“爆掉”有20种情况
所以，若游戏者一定转两次，求他“爆掉”的情况共有
1+2+3+……+20=（种）
∴游戏者一定转两次，求他“爆掉”的概率为
（Ⅱ）由题知，随机变量X的取值为0，70，75，80，85，90，95，100
则X的概率分布列为
X
0
70
75
80
85
90
95
100
P
∴EX=0×+70×+75×+80×+85×+90×+95×+100×
=
20．【解题过程】：（Ⅰ）由题知函数的定义域为
∵ ……2分
当时，
∴的单调递增区间为…………4分
当时，…………5分
令，则，所以函数的单调递增区间为……6分
令，则，所以函数的单调递减区间为…7分
（Ⅱ）设，则……8分
∵时，…………9分
∴在上是增函数……10分
∴，即……11分
∴时，…………12分
21． 【解题过程】：（Ⅰ）依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程，得：
① ………………………… ２分
设A、B两点的坐标分别是、，则是方程①的两根，
所以，． ………………………………………… ３分
由点P满足（为实数，），得， 即．
又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是，从而．
=
=
= =0 ………………………… 5分
所以，． ……………………………………… 6分
（Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是、．
由得，
所以，抛物线在点A处切线的斜率为． ……… 8分
设圆C的方程是，
则 ………… 9分
解得：．………………… 11分
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