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遂宁市高中2023届第二学期教学水平监测
数 学 试 题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 若，则下列不等式正确的是
A． B． C. D．
2. 已知等比数列中，，该数列的公比为
A．-2 B．2 C. D. 3
3. 已知，则
A． B． C． D．5
4. 在四边形ABCD中，若，且，则四边形
ABCD一定是
A. 正方形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形
5. 圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是
A．S B．πS C．2πS D．4πS
6. 若，则的值为
A． B． C． D．
7. 数列，满足，（），则
A． B． C．2 D．
8. 若关于的不等式在区间(2，5)内有解，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
9. 已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是
A.
B.
C.
D.
10. 甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东 方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则
A． B．
C． D．
11. 知A是锐角，且满足，则
A． B．
C． D．或
12. 已知A、B、C是直线上三个相异的点，平面内的点O不在此直线上，若正实数、满足，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知等差数列若，则 ▲ .
14. 在 中，若 ，则 的大小是 ▲ .
15. 如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若
该小虫爬行的最短路程为2 m，则圆锥底面圆的半径等于 ▲ m.
16. 给出以下几个结论：
① 若等比数列前项和为，，则实数=-1；
② 若数列的通项公式分别为
， 且，对任意恒成立，则实数的取值范围是；
③ 设在中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且
，则的最大值为；
④ 在中，三内角所对的边分别为，则；
其中正确结论的序号为 ▲ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分10分）
已知向量与的夹角为，且，.
（1）求，；
（2）若与共线，求k；
▲
18． （本题满分12分）
已知递增等差数列，且，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
▲
19．（本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最小值，并写出当取最小值时的取值
集合；
（2）若，求的值．
▲
20.（本题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求面积的最大值；
（2）若为边上一点，，，且，求.
▲
21．（本题满分12分）
中国“一带一路”战略构想提出后，遂宁市某企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需要另投入成本（万元），当年产量不足80台时，（万元）；当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场调查分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
（1）求年利润（万元）关于年产量台的函数关系式；
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大？
▲
22．（本题满分12分）
已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和；
（3）若集合为空集，求实数的取值范围.
▲
遂宁市高中2023届第二学期期末教学水平监测
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
D
B
C
A
D
C
B
A
D
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 6 14. 15. 16.①③④.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分10分）
（1），………3分
……………5分
（2）若与共线，
则存在，使得………………7分
即，
又因为向量与不共线，
所以，解得，所以………………10分
19． （本题满分12分）
解析：（1）在递增等差数列中，设公差d>0
………………………4分
………………………………………………………6分
（2）
=………………………………10分
=……………………………………………12分
19．（本题满分12分）
解：(1) f(x)＝sin＋cosx＝sinx＋cosx＋cosx＝sinx＋cosx＝sin.…………………………………4分
当x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最小值-.
此时x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．.或者{x|x＝2kπ-，k∈Z}.………6分
（2）由(1)知，f(x)＝sin，又f ＝，
所以sin＝cosα＝，即cosα＝………………8分
因为α∈，所以sinα＝，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝， 9分
cos2α＝2cos2α－1＝－，………………………………10分
所以f(2α)＝sin＝sin2α＋cos2α＝×－×＝…………………………………………………12分
20.（本题满分12分）
解：（1）根据及正弦定理，可得，
即，
可得.
，.
，………………………………………3分
根据余弦定理可得
，
，当且仅当时等号成立，…………………5分
的面积为，
的面积的最大值为…………………………6分
（2）由可得
，…………………………8分
，， …………………9分
在中，利用正弦定理可得，
即，解得 ……………………………12分
21．（本题满分12分）
解：(1) …5分
（2）当时，
此时最大值为，在时取得；…………………7分
当时，
当且仅当时取得…………………………………10分
故当年产量为台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大………12分
22．（本题满分12分）
解：（1）由题意得，
当时，
，
又也满足上式，故；……………………………………………4分
（2）由（1）可得 ①
∴ ②
① ②，得，
所以; ……………………………………………8分
（3）由（2）可得，
所以，即.
令…………………………………9分
则，，，，，
因为,
所以，当时，，即.
因为集合为空集，所以的解为空集，
所以。…………………………………………12分
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