黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2020-2021学年高一下学期期末数学Word版含答案

哈工大附中2020—2021学年度高一学年第一学期期末考试试题 数学试卷 时间：120 分钟 分值：150 分 第I卷（选择题 共60分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（ ）A． B． C． D． 2．从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是（ ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件. 3．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若, 则c等于（ ） A．1 B． C． D．2 4．若向量，，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．已知圆柱底面半径为2，母线长为3，则其侧面积为（ ）A．12 B．16 C． D． 6．下列一组数据的25百分位数是（ ） 2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6 A．3.2 B．3.0 C．4.4 D．2.5 7．3个数1，3，5的方差是（ ） A． B． C．2 D． 8．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________． A． B． C． D． 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分） 9．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知复数，则下列命题中正确的为（ ） A． B． C．的虚部为 D．在复平面上对应点在第一象限 11．设a，b是两条不重合的直线，，是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（ ）A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 12．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是共面直线的图是（ ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，计20分） 13．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层随机抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是 14． 已知i为虚数单位，则 15．已知向量，，若，则实数m的值为 16．某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间 （单位：h），数据如下， 甲 6 6.5 7 7.5 8 乙 6 7 8 9 10 11 12 丙 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间 四.解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分） 已知. （1）求； （2）设，的夹角为，求的值. 18．（本题满分12分） 的内角，，的对边分别为，，.已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 19．（本题满分12分）做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”. （1）求这个试验样本点的个数； （2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件. 20.（本题满分12分） 如图，在三棱锥中，平面，E，F分别是的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 21.（本题满分12分） 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数； 22． （本题满分12分） 已知为的三内角，且其对边分别为，若. （1）求； （2）若，，求的面积. 答案： 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】A 由题意，一组数据2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6， 从小到大为：2.1，3.0，3.2，3.4， 3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6， 因为，所以该组数据的25百分位数是. 7.【答案】D 由题得3个数的平均数为3，所以． 8.【答案】C 9.【答案】AC 10.【答案】ABD 11.【答案】BCD 12.【答案】ABD 13.45 14. 15. 16.答案：8.2h 分析：样本中甲、乙、丙三个班级的平均锻炼时间分别为7h，9h，8.25h， 则样本平均数为. 估计该校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2h. 17.【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）. （2）. 18.【答案】（1）；（2）. 【详解】 解：（1）因为，，. 由正弦定理，可得，所以； （2）由余弦定理，， ，（舍），所以. 19.【答案】（1）12；（2）{(2，1)，(2，3)，(2，4)}. 【详解】 （1）当x=1时，y=2，3，4；当x=2时，y=1，3，4；同理当x=3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12. （2）记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}. 20.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】 （1）在中，E，F分别是的中点，所以． 又因为平面，平面，所以平面． （2）在中， ， 所以，所以． 因为平面，平面，所以． 又因为平面平面． 所以平面．因为平面，所以 在中，因为，E为的中点，所以． 又因为平面平面． 所以平面． 21.【答案】（1）0.30；频率分布直方图见解析；（2）． 【详解】 （1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图， 则有，可得0， 所以频率分布直方图为： （2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分， 所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为. 22.【答案】（1）；（2）. 解：（1）∵， ∴由正弦定理可得：， 整理得， 即：， 所以，∵，∴， ∵，∴. （2）由，，由余弦定理得， ∴，即有， ∴， ∴的面积为.