资源描述
2021年宁夏中卫市高三高考三模
数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分）.
1．集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，2}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{0，2} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{2}
2．命题“若a2+b2＝0，则a＝0且b＝0”的否定是（ ）
A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2+b2＝0，则a≠0且b≠0
C．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0 D．若a2+b2＝0，则a≠0或b≠0
3．若向量＝（5，6），＝（2，3），则＝（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（7，9） C．（3，3） D．（﹣6，﹣10）
4．已知角θ终边经过点P（，a），若θ＝﹣，则a＝（ ）
A． B． C． D．
5．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高三高考新模式，即语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目，为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）
A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
6．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
7．已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（﹣1，1），B（1，1），C（1，0），D（﹣1，0），其中A，B两点在曲线y＝x2上，如图所示．若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数f（x）＝sin2x+cos2x，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数f（x）在区间上是减函数
D．函数f（x）的图象关于直线对称
9．已知圆M过点A（1，1）、B（1，﹣2）、C（3，﹣2），则圆M在点B处的切线方程为（ ）
A．2x+y＝0 B．3x+2y+1＝0 C．2x+3y+4＝0 D．x+2y+3＝0
10．若正四面体ABCD的所有棱长均为，则正四面体ABCD的（ ）
A．表面积为 B．高为
C．体积为 D．内切球半径为
11．设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边分别为a，b，c，且a＝2，B＝2A，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．（0，4）
12．已知函数f（x）＝xex，g（x）＝2xln2x，若f（x1）＝g（x2）＝t，t＞0，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知i为虚数单位，复数z＝（2+i3）（1﹣ai）为实数，则z＝ ．
14．已知方程lgx＝3﹣x的根在区间（2，3）上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为 ．
15．已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，且对任意x∈R，都有f（2﹣x）＝f（x）成立，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝，则a＝ ．当x∈[1，3]时，f（x）＝ ．
16．已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点（F1，F2为椭圆C的两个焦点）．又O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，下列说法所有正确的序号是 ．
①b＝1；
②当点P在第一象限时坐标为；
③直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值；
④∠F1PF2的角平分线PH（点H在F1F2上）长为．
三、解答题：（本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），﹣2S2，S3，4S4成等差数列，且a2+2a3+a4＝．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝﹣（n+2）log2|an|，求数列的前n项和Tn．
18．某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A、B两地游玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：
目的地A地出行方式
绿色出行
非绿色出行
概率
得分
1
0
目的地B地出行方式
绿色出行
非绿色出行
概率
得分
1
0
若甲同学去A地玩，乙、内同学去B地玩，选择出行方式相互独立．
（1）求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；
（2）求三名同学总得分X的分布列及数学期望EX．
19．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝BC，AD＝1，∠ABC＝60°，EF∥AC，EF＝AC．
（1）证明：AB⊥CF；
（2）当二面角B﹣EF﹣D的余弦值为时，求线段CF的长．
20．已知抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F（2，0），点P在抛物线Γ上．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若|PF|＝5，求点P的坐标；
（3）过点T（t，0）（t＞0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线Γ于A、B、C、D四点，且点M、N分别为线段AB、CD的中点，求△TMN的面积的最小值．
21．已知函数f（x）＝lnx﹣，其中a∈R．
（1）当a＝2，x＞1时，证明：f（x）＞0；
（2）若函数F（x）＝＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数F（x）＝有两个不同的零点x1，x2，证明：2．
选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）[选修4─4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+2＝0．
（1）求曲线C1的极坐标方程并判断C1，C2的位置关系；
（2）设直线θ＝α（，ρ∈R）分别与曲线C1交于A，B两点，与C2交于点P，若|AB|＝3|OA|，求|OP|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+＝Mab．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6＝？并说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题5分）.
1．集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，2}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{0，2} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{2}
解：集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，0，2}，
所以∁RA＝{x|x≤0}，
所以（∁RA）∩B＝{﹣2，﹣1，0}．
故选：C．
2．命题“若a2+b2＝0，则a＝0且b＝0”的否定是（ ）
A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2+b2＝0，则a≠0且b≠0
C．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0 D．若a2+b2＝0，则a≠0或b≠0
解：命题“若a2+b2＝0，则a＝0且b＝0”的否定是“若a2+b2＝0，则a≠0或b≠0”，
故选：D．
3．若向量＝（5，6），＝（2，3），则＝（ ）
A．（﹣3，﹣3） B．（7，9） C．（3，3） D．（﹣6，﹣10）
解：∵向量＝（5，6），＝（2，3），则＝＝﹣＝（3，3），
故选：C．
4．已知角θ终边经过点P（，a），若θ＝﹣，则a＝（ ）
A． B． C． D．
解：∵角θ终边经过点P（，a），若θ＝﹣，
∴tan（﹣）＝﹣＝，
∴解得a＝﹣．
故选：C．
5．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高三高考新模式，即语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目，为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）
A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
解：根据雷达图可知甲同学物理、化学、地理成绩领先年级平均分，其中物理、化学、地理成绩领先年级平均分分别约为1.5分、1分，1分，所以甲同学物理成绩领先年级平均分最多，故A项叙述正确，C项叙述不正确；
B项：根据雷达图可知，甲同学的历史、政治成绩低于年级平均分，故B项叙述正确；
对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的种选科结果，故D项叙述正确；
故选：C．
6．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
解：由已知中△ABC的直观图中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，
∴△ABC中，BO＝CO＝1，AO＝，
由勾股定理得：AB＝AC＝2，
又由BC＝2，
故△ABC为等边三角形，
故选：A．
7．已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（﹣1，1），B（1，1），C（1，0），D（﹣1，0），其中A，B两点在曲线y＝x2上，如图所示．若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：，
结合几何概型计算公式可得：骰子落在阴影部分的概率为 ．
故选：C．
8．若函数f（x）＝sin2x+cos2x，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数f（x）在区间上是减函数
D．函数f（x）的图象关于直线对称
解：∵函数f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），故它的最小正周期为＝π，故A不正确；
令x＝﹣，求得f（x）＝0，故函数f（x）的图象关于点对称，故B正确；
当x∈（，），2x+∈（ ，），故f（x）没有单调性，故C错误；
令x＝，求得f（x）＝﹣1，不是最值，故函数f（x）的图象不关于直线对称，故D错误，
故选：B．
9．已知圆M过点A（1，1）、B（1，﹣2）、C（3，﹣2），则圆M在点B处的切线方程为（ ）
A．2x+y＝0 B．3x+2y+1＝0 C．2x+3y+4＝0 D．x+2y+3＝0
解：根据题意，设圆心M的坐标为（m，n），
圆M过点A（1，1）、B（1，﹣2）、C（3，﹣2），则点M在线段AB的垂直平分线上，则n＝﹣，
同理：点M在线段BC的垂直平分线上，则m＝2，
即圆心的坐标为（2，﹣），
则KMB＝＝，则切线的斜率k＝﹣，
又由B（1，﹣2），则圆M在点B处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），变形可得2x+3y+4＝0，
故选：C．
10．若正四面体ABCD的所有棱长均为，则正四面体ABCD的（ ）
A．表面积为 B．高为
C．体积为 D．内切球半径为
解：根据题意，正四面体ABCD的所有棱长均为，
依次分析选项：
对于A，S△ABC＝S△ABD＝S△ACD＝S△BCD＝×2＝，则其表面积S＝4×＝2，A错误；
对于B，设△ABC的中心为O，易得DO⊥面ABC，则AO＝×＝，则|DO|＝＝，正四面体ABCD的高为，B错误；
对于C，正四面体A
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