(新高考)高考数学一轮复习讲义第10章§10.5古典概型、概率的基本性质(含详解)

§10.5　古典概型、概率的基本性质 考试要求　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率． 知识梳理 1．古典概型 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 2．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 3．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 常用结论 若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　√　) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　×　) (3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　) (4)两个互斥事件的概率和为1.(　×　) 教材改编题 1．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为(　　) A．0.9 B．0.3 C．0.6 D．0.4 答案　D 解析　设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4. 3．抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则P(A∪B)＝______，P(A∩B)＝______. 答案　　 解析　抛掷一枚骰子，样本空间出现的点数是{1,2,3,4,5,6}， 事件A∪B包括出现的点数是{1,3,5,6}这4个样本点，故P(A∪B)＝； 事件A∩B包括出现的点数是{3}这1个样本点，故P(A∩B)＝. 题型一　古典概型 例1　(1)(2022·昆明模拟)2021年，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇．某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　6个云南省特色小镇分别为a，b，c，d，e，f，其中a为安宁温泉小镇，则6个云南特色小镇中任意选两个的样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15个，其中一个是安宁温泉小镇有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)共5个，所以要求的概率为P＝＝. (2)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　方法一　(将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A,1B,1C,1D,2个0分别设为0A,0B，将4个1和2个0随机排成一行有A种排法，将1A,1B,1C,1D，排成一行有A种排法，再将0A,0B插空有A种排法，所以2个0不相邻的概率P＝＝. 方法二　(含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C种排法．所以2个0不相邻的概率P＝＝. 教师备选 1．(2022·江苏百师联盟联考)将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　分配方案的总数为CA，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有CA，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是P＝＝. 2．(2022·福州模拟)“博饼”是闽南地区中秋佳节的传统民俗游戏，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．“博饼”的游戏规则是：参与者轮流把6颗骰子同时投进一个大瓷碗里，而后根据骰子的向上一面点数组合情况，来决定获奖等次，获奖等次分为6类，分别用中国古代科举的排名名称命名，获奖者投出的骰子组合如图所示，根据你所学的概率知识，投出“六杯红”的概率为______；投出“状元插金花”的概率为______．(不需得出具体数值) 答案　　 解析　依题意，6个骰子同时投掷一次，样本点总数为66. 其中，投出“六杯红”的样本点数为1； 投出“状元插金花”的样本点数为C＝15. 故投出“六杯红”的概率为；投出“状元插金花”的概率为＝. 思维升华　利用公式法求解古典概型问题的步骤 跟踪训练1　(1)(2022·深圳模拟)五一国际劳动节放假期间，甲、乙两名同学计划在5月1日到5月3日期间去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法，所以一共有3×2＝6(种)方法，他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为＝. (2)(2022·苏州模拟)皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的(p－1)次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理，若在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，样本点总数n＝A＝20，所取两个数(p，a)符合费马小定理包含的样本点有(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(3,8)，(5,2)，(5,3)，(5,6)，(5,8)，共9个，∴所取两个数符合费马小定理的概率为P＝. 题型二　概率的基本性质 例2　某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示． 人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04 (1)求派出医生至多2个的概率； (2)求派出医生至少2个的概率． 解　设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04. (1)“派出医生至多2个”的概率为 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)方法一　“派出医生至少2人”的概率为 P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74. 方法二　“派出医生至少2个”的概率为 1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74. 教师备选 1．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)等于(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　方法一　A包含向上点数是1,3,5的情况，B包含向上的点数是1,2,3的情况， 所以A∪B包含了向上点数是1,2,3,5的情况， 故P(A∪B)＝＝. 方法二　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) ＝＋－＝1－＝. 2．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　所有的排法有A＝24(种)， 若甲、丙之间恰好为乙，则有AA种排法； 若甲、丙之间恰好为丁，则有A种排法， 故所求的概率为P＝＝＝. 思维升华　求复杂互斥事件的概率的两种方法 (1)直接法 (2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)． 跟踪训练2　(1)(2022·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A，则表示这个音序中不含宫和羽这两个音序， ∴P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝. (2)数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为________． 答案　 解析　小明随机地填涂了至少一个选项，共有C＋C＋C＋C＝15(种)涂法，得分的涂法有3种，所以他能得分的概率为P＝＝. 题型三　概率与统计的综合问题 例3　饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础．同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍．为了提高节约用水意识，为此，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分(同一组数据用该组区间的中点值代表)； (2)在该样本中，若采用分层随机抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率． 解　(1)根据频率分布直方图得到 (0.005＋0.025×2＋0.01＋a)×10＝1， 解得a＝0.035. 这组样本数据的平均数为50×0.05＋60×0.25＋70×0.35＋80×0.25＋90×0.1＝71， 所以＝71. (2)根据频率分布直方图得到，成绩在[45,55)，[55,65)内的频率分别为0.05,0.25，所以采用分层随机抽样的方法从样本中抽取的6人，