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§10.5 古典概型、概率的基本性质
考试要求 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率.
知识梳理
1.古典概型
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3.概率的性质
性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0;
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0;
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B);
性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为∅⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1.
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
常用结论
若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( √ )
(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.( × )
(3)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.( × )
(4)两个互斥事件的概率和为1.( × )
教材改编题
1.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球,4个红球,从中任取一球,则取到白球的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
2.某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.2,0.3,0.1,则该射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A.0.9 B.0.3
C.0.6 D.0.4
答案 D
解析 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A,则P(A)=1-P()=1-0.6=0.4.
3.抛掷一枚骰子,记A为事件“出现点数是奇数”,B为事件“出现点数是3的倍数”,则P(A∪B)=______,P(A∩B)=______.
答案
解析 抛掷一枚骰子,样本空间出现的点数是{1,2,3,4,5,6},
事件A∪B包括出现的点数是{1,3,5,6}这4个样本点,故P(A∪B)=;
事件A∩B包括出现的点数是{3}这1个样本点,故P(A∩B)=.
题型一 古典概型
例1 (1)(2022·昆明模拟)2021年,云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》,命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”,其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游,则其中一个是安宁温泉小镇的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 6个云南省特色小镇分别为a,b,c,d,e,f,其中a为安宁温泉小镇,则6个云南特色小镇中任意选两个的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15个,其中一个是安宁温泉小镇有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f)共5个,所以要求的概率为P==.
(2)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 方法一 (将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A,1B,1C,1D,2个0分别设为0A,0B,将4个1和2个0随机排成一行有A种排法,将1A,1B,1C,1D,排成一行有A种排法,再将0A,0B插空有A种排法,所以2个0不相邻的概率P==.
方法二 (含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置,则选择2个位置安排0,共有C种排法;将4个1排成一行,把2个0插空,即在5个位置中选2个位置安排0,共有C种排法.所以2个0不相邻的概率P==.
教师备选
1.(2022·江苏百师联盟联考)将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践,每个社区至少一名同学,则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 分配方案的总数为CA,恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有CA,恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是P==.
2.(2022·福州模拟)“博饼”是闽南地区中秋佳节的传统民俗游戏,也是国家级非物质文化遗产的代表性项目.“博饼”的游戏规则是:参与者轮流把6颗骰子同时投进一个大瓷碗里,而后根据骰子的向上一面点数组合情况,来决定获奖等次,获奖等次分为6类,分别用中国古代科举的排名名称命名,获奖者投出的骰子组合如图所示,根据你所学的概率知识,投出“六杯红”的概率为______;投出“状元插金花”的概率为______.(不需得出具体数值)
答案
解析 依题意,6个骰子同时投掷一次,样本点总数为66.
其中,投出“六杯红”的样本点数为1;
投出“状元插金花”的样本点数为C=15.
故投出“六杯红”的概率为;投出“状元插金花”的概率为=.
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练1 (1)(2022·深圳模拟)五一国际劳动节放假期间,甲、乙两名同学计划在5月1日到5月3日期间去敬老院做志愿者,若甲同学在三天中随机选一天,乙同学在前两天中随机选一天,且两名同学的选择互不影响,则他们在同一天去的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 甲同学在三天中随机选一天共有3种方法,乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法,所以一共有3×2=6(种)方法,他们在同一天去共有2种情况,所以他们在同一天去的概率为=.
(2)(2022·苏州模拟)皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”,对数学作出了重大贡献,其中在1636年发现了:若p是质数,且a,p互质,那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1,后来人们称该定理为费马小定理.依此定理,若在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,则所取两个数符合费马小定理的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 在数集{2,3,5,6,8}中任取两个数,其中一个作为p,另一个作为a,样本点总数n=A=20,所取两个数(p,a)符合费马小定理包含的样本点有(2,3),(2,5),(3,2),(3,5),(3,8),(5,2),(5,3),(5,6),(5,8),共9个,∴所取两个数符合费马小定理的概率为P=.
题型二 概率的基本性质
例2 某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示.
人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
(1)求派出医生至多2个的概率;
(2)求派出医生至少2个的概率.
解 设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2个”的概率为
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一 “派出医生至少2人”的概率为
P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
方法二 “派出医生至少2个”的概率为
1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
教师备选
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,事件A表示“向上的点数是奇数”,事件B表示“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)等于( )
A. B. C. D.1
答案 B
解析 方法一 A包含向上点数是1,3,5的情况,B包含向上的点数是1,2,3的情况,
所以A∪B包含了向上点数是1,2,3,5的情况,
故P(A∪B)==.
方法二 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=+-=1-=.
2.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相,则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 所有的排法有A=24(种),
若甲、丙之间恰好为乙,则有AA种排法;
若甲、丙之间恰好为丁,则有A种排法,
故所求的概率为P===.
思维升华 求复杂互斥事件的概率的两种方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求解简单).
跟踪训练2 (1)(2022·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶,故有成语“五音不全”,中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶,排成一个两个音阶的音序,则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设从这五个音阶中任取两个音阶,排成一个两个音阶的音序,这个音序中宫和羽至少有一个为事件A,则表示这个音序中不含宫和羽这两个音序,
∴P(A)=1-P()=1-=1-=.
(2)数学多选题有A,B,C,D四个选项,在给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得2分,有选错的不得分.已知某道数学多选题正确答案为B,D,小明同学不会做这道题目,他随机地填涂了至少一个选项,则他能得分的概率为________.
答案
解析 小明随机地填涂了至少一个选项,共有C+C+C+C=15(种)涂法,得分的涂法有3种,所以他能得分的概率为P==.
题型三 概率与统计的综合问题
例3 饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.同时国家提倡节约用水,全民积极维护饮用水水源安全,保障安全饮水.2021年5月13日下午,正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县,先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库,听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提高节约用水意识,为此,某校开展了“节约用水,从我做起”活动,从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值,并估计该校此次参赛学生成绩的平均分(同一组数据用该组区间的中点值代表);
(2)在该样本中,若采用分层随机抽样方法,从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况,再从这6人中随机抽取3人进行深入调研,求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率.
解 (1)根据频率分布直方图得到
(0.005+0.025×2+0.01+a)×10=1,
解得a=0.035.
这组样本数据的平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.35+80×0.25+90×0.1=71,
所以=71.
(2)根据频率分布直方图得到,成绩在[45,55),[55,65)内的频率分别为0.05,0.25,所以采用分层随机抽样的方法从样本中抽取的6人,
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