(新高考)高考数学一轮复习讲义第10章§10.4随机事件与概率(含详解)

§10.4　随机事件与概率 考试要求　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算． 知识梳理 1．样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 A发生导致B发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 3.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． (2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 常用结论 1．为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形． 2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 3．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)必然事件一定发生．(　√　) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　√　) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　×　) (4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(　×　) 教材改编题 1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　) A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 答案　D 解析　“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”． 2．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 答案　0.5 解析　掷一次硬币正面朝上的概率是0.5. 3．先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0，则这个试验的样本空间中有________个样本点． 答案　4 解析　这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，共4个样本点. 题型一　随机事件与样本空间 例1　(1)在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是(　　) A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均有可能 答案　A 解析　从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6， ∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生， ∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件． (2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}．共8个． 教师备选 一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球． (1)写出这个试验的样本空间； (2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？ 解　(1)这个试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)}． (2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)． 思维升华　确定样本空间的方法 (1)必须明确事件发生的条件． (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 跟踪训练1　(1)下列说法错误的是(　　) A．任一事件的概率总在[0,1]内 B．不可能事件的概率一定为0 C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定 答案　D 解析　任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值． (2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　D 解析　事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点． 题型二　事件的关系与运算 例2　(1)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是(　　) A．A⊆B B．A∩B＝∅ C．A∪B＝“至少一次中靶” D．A与B互为对立事件 答案　BC 解析　事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以AD选项错误，B选项正确．A∪B＝“至少一次中靶”，C选项正确． (2)(多选)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则(　　) A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是 答案　BD 解析　事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误； 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确； 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误； 事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确． 教师备选 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6； D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”； E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”． 下列结论正确的是(　　) A．C1与C2对立 B．D1与D2互斥 C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2) 答案　C 解析　对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确； 对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B不正确； 对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确； 对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确． 2．(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件： A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”； C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”； E＝“至多有一个奇数”． 下列结论正确的有(　　) A．A＝B B．B⊆C C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω 答案　ABD 解析　事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω. 思维升华　事件的关系运算策略 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生． (2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件． 跟踪训练2　(1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是(　　) A．至少有1个红球与至少有1个黑球 B．至少有1个红球与都是黑球 C．至少有1个红球与至多有1个黑球 D．恰有1个红球与恰有2个红球 答案　D 解析　对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意； 对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意； 对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意； 对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球． (2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是(　　) A.1⊆B B．A2＋B＝Ω C．A3与B互斥 D．A4与对立 答案　C 解析　对于A，1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}， ∴B⊆1，故A错误； 对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误； 对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确； 对于D，A4＝{4}，＝{1,3,5}，A4与是互斥但不对立事件，故D错误． 题型三　频率与概率 例3　某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 解　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温低于