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§7.5 空间直线、平面的垂直
考试要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．
知识梳理
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：.
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角的范围：[0，π]．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
知识拓展
1．三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )
(4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a∥直线b.( √ )
教材改编题
1．(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是( )
A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线
B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线
C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
答案 BD
解析 A项，如图①，a⊂α，b⊂β，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错；
B项，如图②，a⊂α，作b⊥l，则b⊥α，则β内所有与b平行的直线都与a垂直，故B正确；
C项，如图③，a⊂α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错；
D项，如图④，由两平面垂直的性质定理可知D正确．
2．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．
答案 必要不充分
3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案 (1)外 (2)垂
解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，
PA＝PC＝PB，
∴OA＝OB＝OC，
即O为△ABC的外心．
图1 图2
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，
PB⊂平面PAB，
∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，
∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F－EBC的体积；
(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.
(1)解 如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，
CF＝1，EM＝AB＝1，
AB∥A1B1，
由BF⊥A1B1得EM⊥BF，
又EM⊥CF，BF∩CF＝F，
所以EM⊥平面BCF，
故V三棱锥F－EBC＝V三棱锥E－FBC＝×BC×CF×EM＝××2×1×1＝.
(2)证明 连接A1E，B1M，
由(1)知EM∥A1B1，
所以ED在平面EMB1A1内．
在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，
所以由平面几何知识可得BF⊥B1M，
又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，
所以BF⊥平面EMB1A1，
又DE⊂平面EMB1A1，所以BF⊥DE.
教师备选
如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，
∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，
∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，
∴PD⊥平面ABE.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2021·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积．
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，
∴PD⊥AM.
∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴AM⊥平面PBD.
又AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD.
(2)解 ∵M为BC的中点，∴BM＝AD.
由题意知AB＝DC＝1.
∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，
∴AM⊥BD，
由∠BAM＋∠MAD＝90°，
∠MAD＋∠ADB＝90°，
得∠BAM＝∠ADB，
易得△BAM∽△ADB，∴＝，
即＝，得AD＝，
∴S矩形ABCD＝AD·DC＝×1＝，
则四棱锥P－ABCD的体积
VP－ABCD＝S矩形ABCD·PD
＝××1＝.
教师备选
(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P－ABC的体积．
(1)证明 ∵D为圆锥顶点，O为底面圆心，
∴OD⊥平面ABC，
∵P在DO上，OA＝OB＝OC，
∴PA＝PB＝PC，
∵△ABC是圆内接正三角形，
∴AC＝BC，△PAC≌△PBC，
∴∠APC＝∠BPC＝90°，
即PB⊥PC，PA⊥PC，
PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，PC⊂平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PAC.
(2)解 设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为πrl＝π，
rl＝，
OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，
l＝，AC＝2rsin 60°＝，
在等腰直角三角形APC中，
AP＝AC＝，
在Rt△PAO中，
PO＝＝＝，
∴三棱锥P－ABC的体积为VP－ABC＝PO·S△ABC＝×××3＝.
思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
跟踪训练2 如图，在四棱锥PA-BCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
证明 (1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.
所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
题型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点．
(1)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；
(2)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成的角的余弦值；
(3)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值．
解 (1)∵BA⊥平面AA1D1D，BA⊂平面BPA，
∴平面BPA⊥平面AA1D1D，
∴与P点位置无关．
(2)过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E(如图)，则PE∥AA1，
∴∠B1PE或其补角是异面直线AA1与B1P所成的角．
在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，
∴∠A1AD1＝30°，
∵A1B1＝A1D1＝AD1＝2，
A1E＝A1D1＝1.
又PE＝AA1＝.
∴在Rt△B1PE中，
B1P＝＝2，
cos∠B1PE＝＝＝.
∴异面直线
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