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§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
知识梳理
1．平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．空间中直线与直线的位置关系
4．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
5．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
6．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
7．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( √ )
(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．( × )
(4)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )
教材改编题
1．(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是( )
A．AB与CD是异面直线
B．GH与CD相交
C．EF∥CD
D．EF与AB异面
答案 ABC
解析 把展开图还原成正方体，如图所示．
还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．
2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β．且α∥β，则a与b( )
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
答案 D
解析 α∥β，说明a与b无公共点，
∴a与b可能平行也可能是异面直线．
3．如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案 (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD
解析 (1)∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD．
(2)∵四边形EFGH为正方形，
∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綉AC，EH綉BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD．
题型一 基本事实应用
例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明 (1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，且EF＝A1B．
又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，
即E，C，D1，F四点共面．
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则P∈CE，且P∈D1F，
∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1．
又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线共点．
教师备选
如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明 (1)∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
∴EF∥BD．
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
设平面A1ACC1为α，
平面BDEF为β．
∵Q∈A1C1，∴Q∈α．
又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C．
∴R∈α，且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
跟踪训练1 (1)(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )
答案 ABC
解析 对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．
(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P( )
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
答案 B
解析 如图所示，
因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，
所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．
又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以P∈AC．
题型二 空间线面位置关系
命题点1 空间位置关系的判断
例2 (1)下列推断中，错误的是( )
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
答案 C
解析 对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A对；
对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；
对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．
(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是( )
A．直线MN与直线A1B是异面直线
B．直线MN与直线DD1相交
C．直线MN与直线AC1是异面直线
D．直线MN与直线A1C平行
答案 C
解析 如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；
因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，
所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；
因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，
所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；
因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．
命题点2 异面直线所成角
例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 方法一 如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP．又BP⊂平面B1BP，所以C1P⊥BP．连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则在Rt△C1PB中，C1P＝B1D1＝，
BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，
所以∠PBC1＝．
方法二 如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角．根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝．
(2)(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角．
∵SE＝SB，∴SE＝BE．
又OB＝3，∴OF＝OB＝1．
∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，
∴SC＝3．
∵SO⊥OF，∴SF＝＝．
∵OC⊥OF，∴CF＝．
∴在等腰△SCF中，
tan∠CSF＝＝．
教师备选
1．(多选)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
答案 ABC
2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角．因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，
AD1＝＝2，
DM＝＝，
DB1＝＝．
所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，
于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，
即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
思维升华 (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．
(2)求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
跟踪训练2 (1)如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)
答案 ②④
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
答案 D
解析 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2
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