专题04 平面向量问题
【高考真题】
1．(2022·全国乙理) 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
1．答案 C 解析 ∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，∴a·b＝1．故选C．
2．(2022·全国乙文) 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．答案 D 解析 因为a－b＝(4，－3)，，所以|a－b|＝5．故选D．
3．(2022·全国甲理) 设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)b＝________．
3．答案 11 解析 设a，b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cosθ＝，又|a|＝1，|b|＝3，
所以a·b＝|a||b| cosθ＝1，所以(2a＋b)b＝2a·b＋|b|2＝11．故答案为11．
4．(2022·全国甲文) 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．
4．答案 － 解析 由题意知a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－，故答案为－．
5．(2022·新高考Ⅰ) 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n
5．答案 B 解析 因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，
所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B．
爪子定理 如图1，＝＋，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B．
如图2，＝2＋2，所以＝－＝m－n．没答案．
6．(2022·新高考Ⅱ) 已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若
＝，则t＝( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
6．答案 C 解析 c＝(3＋t，4)，cos＝cos，即＝，解得t＝5，故选C．
7．(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·
的取值范围是( )
A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6]
7．答案 D 解析 依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，
因为PC＝1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设P(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π]，所以＝(3－cosθ，－sinθ)，＝(－cosθ，4－sinθ)，所以·＝(－cosθ)(3－cosθ)＋(4－sinθ)(－sinθ)＝cos2θ－3cosθ－4sinθ＋sin2θ＝1－3cosθ－4sinθ＝1－5sin(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，因为－1≤sin(θ＋φ)≤1，所以－4≤1－5sin(θ＋φ)≤6，即·∈[－4，6]，故选D．
极化恒等式法 设AB的中点为M，连接CM，则||＝，即点M在如图所示的圆弧上，则·
＝||2－||2＝||2－≥(|CM|－1)2－＝－4．·＝||2－||2＝||2－≤(|CM|＋1)2－＝6．
【知识总结】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．向量a与b的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
3．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
4．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
5．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
6．利用数量积求夹角
设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
【常用结论】
1．“爪”子定理
形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则＝＋，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且＝λ，则＝λ＋(1－λ)，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)．
形式1与形式2中与的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐)
2．极化恒等式三角形模式
如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
【同类问题】
题型一 向量的线性运算
1．(2015·全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
1．答案 A 解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A．
2．(2014·全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A． B． C． D．
2．答案 A 解析 ＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A．
3．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－ C．＋ D．＋
3．答案 A 解析 ∵E是AD的中点，∴＝－，∴＝＋＝－＋，又知D是BC的
中点，∴＝(＋)，因此＝－(＋)＋＝－．
4．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则
＝( )
A．a－b B．a＋b C．－a＋b D．－a－b
4．答案 B 解析 如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且＝＝，
∴＝，易知△AHD∽△FHG，从而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b，故选B．
5．(多选)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( )
A．＝－ B．＝－＋ C．＋＝ D．＋＋＝0
5．答案 CD 解析 如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，所以＝＝－，
故A不正确；＝＋＝＋＝＋(＋)＝－－＝－＋，故B不正确；＝－＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以＋＋＝＋＋＝×(＋)＋×(＋)＋×(＋)＝0，即＋＋＝0，故D正确．故选CD．
6．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
6．答案 A 解析 由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋
，所以x＝，y＝．
7．(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
7．答案 解析 由题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，则λ1＝－，
λ2＝，即λ1＋λ2＝．
8．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A． B． C． D．
8．答案 A 解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×＝＋．因为＝λ
＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝＋＝．
9．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋
μ(λ，μ∈R)，则＝( )
A． B． C．3 D．2
9．答案 A 解析 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝．
10．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，
且tan α＝7，与的夹角为45°．若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝__________．
10．答案 3 解析 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝
7，α∈，得sinα＝，cosα＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cosα＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C．又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin(α＋45°)＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin(α＋45°)＝，即B，由＝m＋n，可得解得所以m＋n＝＋＝3．
题型二 平面向量的平行与垂直
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
11．答案 解析 由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝．
12．(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
12．答案 解析 2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．
13．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，c＝(2，3)，若a＋λb与c共线，则实数λ＝( )
A． B．－ C． D．－
13．答案 B 解析 解法一：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，因为a＋λb与c共线，所以必定存在唯
一实数μ，使得a＋λbμc，所以解得
解法二：a＋λb＝(2－λ，4＋λ)，c＝(2，3)，由a＋λb与c共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－．
14．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________．
14．答案 － 解析 由≠，所以a与b不共线，又a－3b＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么
当ma＋nb与a－3b共线时，有＝，即得＝－．
15．已知O为坐标原点，点A(6，3)，若点P在直线OA上，且||＝||，P是OB的中点，则点B的坐
标为_________．
15．答案 (4，2)或(－12，－6) 解析 ∵点P在直线OA上，∴∥，又∵||＝||，∴＝±，
设点P(m，n)，则＝(m，n)，＝(6－m，3－n)．①若＝，则(m，n)＝(6－m，3－n)，∴解得∴P(2，1)，∵P是OB的中点，∴B(4，2)．②若＝－，则(m，n)＝－(6－m，3－n)，∴解得∴P(－6，－3)，∵P是OB的中点，∴B(－12，－6)．综上所述，点B的坐标为(4