2022-2023学年河南省开封市县第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年河南省开封市县第一中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知△ABC中，a=b=6，cosC=，则c的值为(     ) A．6 B． C．3 D． 参考答案： A 【考点】正弦定理． 【专题】计算题；分析法；解三角形． 【分析】由已知利用余弦定理即可直接求值． 【解答】解：∵a=b=6，cosC=， ∴由余弦定理可得：c===6． 故选：A． 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题． 2. 若椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为（　　） A．7 B．5 C．3 D．2 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a的值，即可得2a=10，由椭圆的定义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆的方程为： +=1， 则有a==5，即2a=10， 椭圆上任一点到两个焦点距离之和为10， 若P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为10﹣3=7； 故选：A． 3. 为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(　　) A．5,10,15,20,25    B．2,4,8,16,32  C．1,2,3,4,5,     D．7,17,27,37,47 参考答案： D 略 4. 设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A．4　　　　　　B．3            C．2          D．1 参考答案： C 由题意， ， ∴a=2， 故选：C．   5. 椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： B 略 6. 某中学为方便家长与学校联系，在办公楼的楼厅墙上张贴一副图如下，下面叙述正确的是（   ） A.教务处的直接领导是校长         B．教学副校长的直接下属有督导处       C.这是一个流程图         D．这是一个结构图 参考答案： D 7. 复数(    )    A. B. C. D. 参考答案： B 略 8. 椭圆共同焦点为F1,F2，若P是两曲线的一个交点，则的值为（   ） A.          B. 84          C. 3         D. 21 参考答案： D 9. 已知集合，，则    A.       B. {－2}      C. {3}       D. {－2,3} 参考答案： D 10. =(     ) A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 参考答案： D 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 解答： 解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i， 故选：D． 点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示，给出下列判断： (1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（－，3）内单调递减； (3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增； (4) 当x= －时，函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值; 则上述判断中正确的是                 .   参考答案： ③⑤； 略 12. 是的___________________条件；  参考答案： 充分不必要 13. 已知椭圆，则过点且被平分的弦所在直线的方程为                ； 参考答案： 略 14. 如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有　　　　个． 参考答案： 12 略 15. 抛物线x2=-4y的焦点坐标为        . 参考答案： (0,-1) 16. 用数学归纳法证明“＜，＞1”时，由＞1不等式成立，推证时，左边应增加的项数是   ▲　　． 参考答案：   17. 若正数满足，则的取值范围是                          参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F； （1）求抛物线的焦点坐标和标准方程： （2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程；抛物线的标准方程． 【专题】计算题． 【分析】（1）先设出抛物线方程，因为抛物线过点（4，4），所以点（4，4）的坐标满足抛物线方程，就可求出抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点坐标． （2）利用相关点法求PF中点M的轨迹方程，先设出M点的坐标为（x，y），P点坐标为（x0，y0），把P点坐标用M点的坐标表示，再代入P点满足的方程，化简即可得到m点的轨迹方程． 【解答】解：（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4）， 设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2 ∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0） （2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点 则x0+1=2x，0+y0=2 y            ∴x0=2x﹣1，y0=2 y ∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0 ∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1． ∴M的轨迹方程为 y2=2x﹣1． 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程的求法，以及相关点法求轨迹方程，属于解析几何的常规题． 19. 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 （1）求证：CD∥平面ABC1D1 （2）求证：B1C⊥平面ABC1D1． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）先证明AB∥CD，又AB?平面ABC1D1，CD?平面ABC1D1，即可证明AB∥平面ABC1D1． （2）证明B1C⊥BC1，AB⊥B1C，即可证明B1C⊥平面ABC1D1． 【解答】证明：（1）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD， 又AB?平面ABC1D1，CD?平面ABC1D1， ∴AB∥平面ABC1D1． （2）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知：B1C⊥BC1， 又∵AB⊥平面BC1B1C， ∴AB⊥B1C． ∵BC1∩AB=B， ∴B1C⊥平面ABC1D1． 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的判定定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题． 20. 设z＝2x＋y，变量x，y满足条件 (1)求z的最大值与最小值； (2)已知 ，求的最大值及此时的值； (3)已知 ，求的最小值及此时的值． 参考答案： 解：（1）满足条件的可行域如图，将目标函数z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，直线y＝－2x＋z是斜率k＝－2的平行线系，z是它们的纵戴距．作平行直线过平面区域内的点A、B时直线的纵截距取最值．求A、B点坐标，代入z＝2x＋y，过A点时＝12，过B点时＝3． --------------------------（6分） (2)    此时．     --------------------------（8分） (3)     此时 ．                --------------------------（12分） 21. （本小题满分12分） 已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值. (1)求a，b的值； (2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间． 参考答案： ⑴a＝且b＝－1;⑵单调减区间是(0,1),单调增区间是(1，＋∞) (1)f′(x)＝2ax＋. 又f(x)在x＝1处有极值. ∴即 解之得a＝且b＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x，其定义域是(0，＋∞)， 且f′(x)＝x－＝. 由f′(x)<0，得00，得x>1. 所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)． 单调增区间是(1，＋∞)．   22. （本小题满分12分）如图，正方体的棱长为，为棱的中点. （1）求与所成角的大小； （2）求证平面. 参考答案： 解： 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则， ，， ，，          …………2分 （1），， ，      …………4分     ……5分 ∴与所成的角为                      …………6分 （2），，，   …………8分 ，，      ………10分 ∴，， 即平面内的两条相交直线，    ………11分 ∴平面                            ………12分 略