浙江省杭州市建德育才中学高三数学理测试题含解析

浙江省杭州市建德育才中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数，则的虚部为                       （     ） (A) －1              (B) －i               (C) 1                (D) i 参考答案： C = ,所以虚部为1,选C.   2. 函数的图象大致是（  ） 参考答案： A 略 3. 已知集合U={a,b,c,d,e}，M={a,d}，N={a,c,e}，则M∪eUN为  A．{c,e}    B．{a,b,d}       C．{b,d}       D．{a,c,d,e} 参考答案： B 4. 设全集则上图中阴影部分表示的集合（  ） A．      B． C．{x|x＞0}              D． 参考答案： A 略 5. 已知函数满足条件：对于，存在唯一的，使得.当成立时，则实数(     ) A.       B.         C.+3            D.+3. 参考答案： D 由题设条件对于，存在唯一的，使得知在和上单调，得，且.由有，解之得，故 6. 1．复数      （    ） A．                 B．                  C．                    D． 参考答案： B 7. 下列命题中，假命题的是(　 ) A．  B.      C.     D. 参考答案： 【知识点】指数函数与对数函数B6,B7 【答案解析】B 解析：解：由题意可分析每一个选项，可知当时，，所以B为假命题，所以应选B. 【思路点拨】根据指数函数与对数函数的性质，对每一个选项进行分析. 8. 已知集合，，则     A．          B．         C．           D． 参考答案： A 9. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4﹣S1=7a2，a3=5，则Sn=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】设正项等比数列{an}的公比为q＞0，q≠1，由S4﹣S1=7a2，a3=5，可得a4+a3+a2=7a2，即=6a2， =5，联立解得q，a1．利用求和公式即可得出． 【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，q≠1，∵S4﹣S1=7a2，a3=5， ∴a4+a3+a2=7a2，即=6a2， =5， 联立解得q=2，a1=． 则Sn==5×2n﹣2﹣． 故选：D． 【点评】本题考查了比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10. 已知函数，则（   ） A．在时取得最小值，其图像关于点对称 B．在时取得最小值，其图像关于点对称 C．在单调递减，其图像关于直线对称 D．在单调递增，其图像关于直线对称 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在5×5的表格填上数字，设在第i行第j列所组成的数字为aij，aij∈{0，1}，aij=aji（1≤i，j≤5），则表格中共有5个1的填表方法种数为　　． 参考答案： 326 【考点】排列、组合的实际应用． 【分析】根据题意，按数字1出现的位置分三种情况讨论，①、5个1都出现在i=j即a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，②、有1个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，剩余4个1在其他位置，③、有3个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，剩余2个1在其他位置，分别求出每种情况下填表方法的数目，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，在5×5的表格中，有5个i=j的表格，即a11、a22、a33、a44、a55，10个i＞j的表格，10个i＜j的表格； 要求5×5的表格种恰有5个1，则对1出现的位置分3种情况讨论： ①、5个1都出现在i=j即a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，有1种情况； ②、有1个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，剩余4个1在其他位置， 需要先在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，选出1个，有C51种情况， 在剩下的10个aij（i＞j）表格中，任选2个，有C102种情况， 则有C51×C102=225种填表方法； ③、有3个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，剩余2个1在其他位置， 需要先在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中，选出3个，有C53种情况， 在剩下的10个aij（i＞j）表格中，任选1个，有C101种情况， 则有C53×C101=100种填表方法； 则一共有1+225+100=326种填表方法； 故答案为：326． 12. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足a=4，A=30°的三角形的个数恰好为一个，则b的取值范围是　　． 参考答案： （0，4]∪{8} 【考点】解三角形． 【分析】利用正弦定理得出b=8sinB，根据B+C的度数和三角形只有一解，可得B只有一个值，根据正弦函数的性质得到B的范围，从而得出b的范围． 【解答】解：∵A=30°，a=4， 根据正弦定理得：， ∴b=8sinB， 又B+C=180°﹣30°=150°，且三角形只一解，可得B有一个值， ∴0＜B≤30°，或B=90°． ∴0＜sinB≤，或sinB=1， 又b=8sinB， ∴b的取值范围为（0，4]∪{8}． 故答案为：（0，4]∪{8}． 【点评】本题考查了正弦定理，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，属于中档题． 13. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c 的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________． 参考答案： 9 14. 函数f(x)= x﹣lnx的单调减区间为   ▲   ． 参考答案： (0,1]   15. 在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______． 参考答案： ． 试题分析：∵代入得，由余弦定理得． 考点：1．正弦定理；2．余弦定理的推论． 16. 已知P(2，m)为角终边上一点，且，则_________． 参考答案：    17. 已知函数则=_______________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数，其中向量，，，且的图象经过点．（1）求实数的值；（2）求的最小正周期；（3）求在[0，]上的单调增区间． 参考答案： 解：（1），                  ∵图象经过点， ∴，解得．                      ………………5分 （2）当时，，       ………………7分 ∴                                                       ………………9分 （3）,,∴                      ………………11分 由,得                                     ………………13分 ∴在[0，]上的单调增区间为. 19. 在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告诉大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级” （Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率 （Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分 ①请你从平均分光和方差的角度来分析两个班的选手的情况； ②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）先分别求出甲班前5位选手的总分和乙班前5位选手的总分，由此利用列举法能求出乙班总分超过甲班的概率． （Ⅱ）①分别求出甲、乙两班平均分和方差，由此能求出甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大． ②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）． 【解答】解：（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为88+89+90+91+92=450， 乙班前5位选手的总分为82+84+92+91+94=443， 若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为： （90，98），（90，99），（91，99），共三个， ∴乙班总分超过甲班的概率为p==． （Ⅱ）①甲班平均分为=（88+89+90+91+92+90）=90， 乙班平均数为=（82+84+92+91+94+97）=90， 甲班方差为S2甲=（22+12+12+22）=， 乙班方差为S2乙=（82+62+22+12+42+72）=， 两班的平均分相同，但甲班选手的方差小于乙班， 故甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大． ②ξ的可能取值为0，1，2，3，4， P（ξ=0）==， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， P（ξ=3）==， P（ξ=4）==， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 P ∴E（ξ）==2． 20. 如图(1)在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2)) （I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； （II）求二面角E-DF-C的余弦值； 参考答案： 21. （本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 （I）求角B的大小。 （II）若，求△ABC的面积最大值． 参考答案： 22. （本小题满分14分） 某工厂生产A、B两种型号的产品，每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品. 为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数. 现随机抽取了5组的质检记录，其一等品数如下面的茎叶图所示： （1）试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种产品为一等品的概率PA、PB； （2）已知每件产品的利润如表一所示，用、分别 表示一件A、B型产品的利润，在（1）的条件下， 求、的分布列及数学期望（均值）、；    （3）已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设、分别表示生产A、B两种产品的数量，在（2）的条件下，求、为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示） 参考答案： 解：(1)  由茎叶图知 ；……2分              . …………………4分   （2）随机变量、的分布列是 4 3 P 0.68 0.32 3 2 P 0.71 0.29                                                          ………6分      ∴ ，. ………8分   （3）由题设知，目标函数为 ， ………………………10分       作出可行域如图所