浙江省宁波市江口中学高三数学理期末试题含解析

浙江省宁波市江口中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）（2013?兰州一模）下列命题中的真命题是（　　） 　 A． 对于实数a、b、c，若a＞b，则ax2＞bx2 　 B． 不等式的解集是{x|x＜1} 　 C． ?a，β∈R，使得sin（α+β）=sinα+sinβ成立 　 D． ?a，β∈R，tan（α+β）=成立 参考答案： D 略 2. 在锐角中，角所对的边长分别为.若         (    ) A.             B.              C.              D. 参考答案： A 3. 已知，那么等于    A.          B.          C.         D. 参考答案： D 由，得，即，解得，所以，选D. 4. 设，则（     ） A、        B、       C、      D、10 参考答案： C 5. 已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（　　） A． B． C．1 D．2 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得S的最小值． 【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2） 抛物线准线y=﹣1， 根据梯形的中位线定理，得所求的距离为： S== 由抛物线定义 =﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号） ≥﹣1=2 故选D． 6. 设集合，，则 （A） （B）   （C）   （D） 参考答案： 【答案解析】A   解析：, , 选A 【思路点拨】先化简集合M、N,然后再求. 7. （5分）（2015?浙江模拟）已知集合M={x|≥1}，N={y|y=}，则M∩N=（　　） 　 A． （0，1） B． [0，1] C． [0，1） D． （0，1] 参考答案： D 【考点】： 交集及其运算． 【专题】： 集合． 【分析】： 求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可． 解：由M中不等式变形得：﹣1≥0，即≤0， 解得：0＜x≤1，即A=（0，1]， 由N中y=，得到0≤y≤1，即N=[0，1]， 则M∩N=（0，1]， 故选：D． 【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 8. 复数(***). A．            B．     C．     D. 参考答案： C 9. （5分）（2015?兰山区校级二模）若a＜0，则（　　） 　 A． 2a＞（）a＞（0.2）a B． （0.2）a＞（）a＞2a C． （）a＞（0.2）a＞2a D． 2a＞（0.2）a＞（）a 参考答案： B 【考点】： 指数函数的单调性与特殊点． 【专题】： 阅读型． 【分析】： 利用不等式的性质得到2a的范围；利用指数函数的单调性得到的范围；通过做商判断商与1的大小，判断出两者的大小． 解：∵a＜0，∴2a＜0，（）a＞1，0.2a＞1． 所以2a最小 而=（）a∈（0，1）， ∴（）a＜0.2a． 故选B 【点评】： 本题考查不等式的性质、指数函数的单调性、利用作商比较数的大小． 10. 在中，分别为的对边，若、、依次成等比数列，则（   ） A．依次成等差数列        B． 依次成等比数列             C．依次成等差数列        D．　依次成等比数列 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图2-1，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-2），则图2-1中的水面高度为；       参考答案： 12. 设是等差数列，的前项和， 且，则=          。 参考答案： 25 略 13. 若实数x，y满足且的最小值为4，则实数b的值为______ 参考答案： 3 14. 如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为__________． 参考答案：    【知识点】程序框图L1 解析：由程序框图知， 又以及周期的性质，化简后得 ．故答案为. 【思路点拨】首先分析程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的值． 15. 如图，在矩形中，，， 在上，若，    则的长=____________ 参考答案： 在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，所以∠BAC＝60°. 因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD＝，故ED＝. 16. 若关于实数x的不等式|x－5|+|x+3 |＜a无解，则实数a的取值范围是         ． 参考答案： 略 17. 已知函数()（其中e是自然对数的底数）的图像上存在点与的图像上的点关于y轴对称，则实数a的取值范围是____ 参考答案： 【分析】 根据题意先设上的一点坐标为，再由该点关于y轴对称写出上的点的坐标为，且两点满足横坐标互为相反数，纵坐标相等，则有，对这个式子进行整理化简得，令，在定义域内求的值域，即得a的范围。 【详解】存在函数图像上的一点与函数图像上一点关于y轴对称，则有， 即，， 令，则在上单调递增，故. 【点睛】本题根据两个函数上的两个点关于y轴对称的条件，可得到含参数的等式，解题关键在于用分离参数的方法，在构造新函数的情况下，将求参数取值范围转化为求函数值域。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数的最小正周期为. （Ⅰ）求函数，的单调增区间； （Ⅱ）证明：无论为何值，直线与函数的图象不相切. 参考答案： 解：（Ⅰ）                     的最小正周期为,， 即                      由，得 又，时，取时，取 的单调增区间为                （Ⅱ） ，       而直线的斜率为 在图象上不存在点，使得该点的导数为4， 即无论取得何值，直线与函数的图象相切. 略 19. 数列{an}满足a1=2，(2n+1) an an+1=2n+1(2an－an+1)(n∈N*). （1）求a2，a3的值； （2）如果数列{bn}满足an·bn=2n，求数列{bn}的通项公式bn. 参考答案： （Ⅰ）由已知得（），因为，所以 ．．…7分 （Ⅱ）因为，且由已知可得，把代入得即，…10分， 所以， 累加得，…13分 又，因此．…15分 20. （本小题满分12分） 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． 如图，“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线弧合成，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆与抛物线的一个公共点，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在过的一条直线，与“盾圆”依次交于四点，使得与的面积比为？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由． 参考答案： 解答：（Ⅰ）由的准线为，，故记 又，所以，故椭圆为．         4分 （Ⅱ） 设直线为， 联立，得，则     ① 联立，得，则                      ②                                                                          8分 与的面积比 整理得                                     10分 若， 由②知坐标为，不在“盾圆”上； 同理也不满足，故符合题意的直线不存在．                        12分 21. （本小题满分12分）已知函数＝，＝，x∈R，设函数 (Ⅰ)求的最小正周期及单调递减区间； (Ⅱ)当时,求的取值范围. 参考答案： (Ⅰ)因为 .2分 所以的最小正周期.     ……………………………………4分 由， 得． 故函数的单调递减区间是（）．……………………8分 (Ⅱ) 因为,所以.                 所以的取值范围是         ………………………………………  12分 22. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）通过对an+1=2an+1变形可知an+1+1=2（an+1），进而可知数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论； （2）通过（1）可知bn=n?2n﹣1，进而利用错位相减法计算即得结论． 【解答】解：（1）∵an+1=2an+1， ∴an+1+1=2（an+1）， 又∵a1=1， ∴数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列， ∴an+1=2n， ∴an=﹣1+2n； （2）由（1）可知bn=n（an+1）=n?2n=n?2n﹣1， ∴Tn=1?20+2?2+…+n?2n﹣1， 2Tn=1?2+2?22…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n， 错位相减得：﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n?2n =﹣n?2n =﹣1﹣（n﹣1）?2n， 于是Tn=1+（n﹣1）?2n． 【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查错位相减法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．