江西省吉安市芙蓉中学高三数学理测试题含解析

江西省吉安市芙蓉中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是              (    ) A．0         B．2            C．4           D．8 参考答案： C 2. 执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k，S的值，由题意，当S=21时，应该不满足条件S≤a，退出循环输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值． 【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得 k=0，S=0， 满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1 满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2 满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3 由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20． 故选：A． 3. 若当时，函数取得最小值，则函数是（    ） A．奇函数且图像关于点对称       B．偶函数且图像关于点对称 C．奇函数且图像关于直线对称      D．偶函数且图像关于点对称 参考答案： C 4. 命题p：若·>0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在及（0，+）上都是减函数，则f（x）在（-，+）上是减函数，下列说法中正确的是 A．“p或q”是真命题    B．“p或q”是假命题 C．非p为假命题    D．非q为假命题 参考答案： B 5. 在极坐标系中，点  到圆 的圆心的距离为（  ） A  2       B         C         D 参考答案： D 略 6. 三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为,满足，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA =6，则此三棱锥体积最大值是（     ） A．12    B．36    C．48    D．24 参考答案： B 略 7. 已知一实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔化成一实心正方体，则该正方体的表面积为（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 略 8. 已知是方程的解, 是方程的解, 函数 ，则 (       ) A.       B. C.       D. 参考答案： A 略 9. 若=__________. A．1 B．—1 C．2 D．—2 参考答案： A 略 10. 若，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二项式的展开式中的常数项为             ． 参考答案： 略 12. 某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师          人． 参考答案： 182 13. 已知集合A={x|y=lg（2﹣x）}，集合B=[y|y=}，则A∩B=　　． 参考答案： [0，2） 【考点】交集及其运算． 【分析】通过求两个函数的定义域和值域化简两个集合、利用交集的定义求出两个集合的交集． 【解答】解：A={x|y=lg（2﹣x）}=（﹣∞，2），B={y|y=}=[0，+∞）， 则A∩B=[0，2）， 故答案为：[0，2）． 【点评】本题考查函数定义域的求法：注意求定义域时开偶次方根被开方数大于等于0，对数的真数大于0．利用交集的定义求交集． 14. 设函数,给出以下四个命题：①当c=0时，有②当b=0,c>0时，方程③函数的图象关于点（0，c）对称 ④当x>0时；函数，。其中正确的命题的序号是_________。 参考答案： 1.2.3 略 15. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为    ▲   ． 参考答案： 略 16.   已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是，切点到二面角棱的距离是1，则球的体积是 。 参考答案： 答案：   17. 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若=2，=1，且BAD=60o，则       。   参考答案：    三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=lnx﹣x2+ax， （1）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数，求a的取值范围； （2）设f'（x）是函数f（x）的导函数，x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1＜x2，求证 （3）证明当n≥2时，． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即a≤2x﹣恒成立，求出a的范围即可； （2）求出a，得到f′（）=﹣，问题转化为证明＞ln，令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，根据函数的单调性证明即可； （3）令a=1，得到lnx≤x2﹣x，得到x＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，累加即可． 【解答】（1）解：∵x∈（1，+∞）时，函数f（x）为递减函数， ∴f′（x）=﹣2x+a≤0在（1，+∞）恒成立， 即a≤2x﹣恒成立， 而y=2x﹣在（1，+∞）递增， 故2x﹣＞1， 故a≤1； （2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）， ∴方程lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2， 则 lnx1﹣+ax1=0，①，lnx2﹣+ax2=0，②， 两式相减得a=（x1+x2）﹣， 又f（x）=lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a， 则f′（）=﹣（x1+x2）+a=﹣， 要证﹣＜0， 即证明＞ln， 令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1， 即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立， ∵u′（t）=， 又0＜t＜1，∴u'（t）＞0， ∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0， 从而知﹣＜0， 故f′（）＜0成立； （3）证明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）递减， ∴f（x）=lnx﹣x2+x≤f（1）=0， 故lnx≤x2﹣x， x＞1时，＞， 分别令x=2，3，4，5，…n， 故++…+＞++…+=1﹣， ∴++…+＞1﹣， 即左边＞1﹣＞1，得证． 19. 如图四棱锥中，是梯形，AB∥CD，，AB=PD=4，CD=2，，M为CD的中点，N为PB上一点，且。 （1）若MN∥平面PAD； （2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为， 求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值。 参考答案： （1）证明：若， 连接EN，DE， EN∥AB，且 M为CD的中点，CD=2， 又AB∥CD，EN DM 四边形DMNE是平行四边形，MN∥DE， 又平面PAD，MN平面PAD， MN∥平面PAD…………………………………………………6分 （2）如图所示，过点D作DHAB于H，则DHCD， 则以D为坐标原点建立空间直角坐标D-yz， 点D（0，0，0），M（0，1，0）， C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，-2，0）， P（0，0，4），=（2，0，0），=（0，-2，4）， ， 该平面PBC的法向量为，则 令z=1，y=2，x=0， 该直线AN与平面PBC所成的角为，则 解得 设直线AD与直线CN所成角为， 则 所以直线AD与直线CN所成角的余弦值为………………12分 20. 已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： 3 2 4 0 4 （Ⅰ）求的标准方程； （Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 参考答案： 解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求      ………………2分        设：，把点（2，0）（，）代入得：      解得 ∴方程为  …………………………………………5分 （Ⅱ）法一： 假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，        由消去，得…………………………7分        ∴     ①                                                         ②      ………………………9分        由，即，得 将①②代入（*）式，得， 解得  …………………11分 所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或…………………………………………………………………………………12分 法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；……………………………6分 当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为 由消掉，得 ，  …………8分 于是 ，    ① 即   ② …………………………10分 由，即，得 将①、②代入（*）式，得  ，解得；……11分 所以存在直线满足条件，且的方程为：或．………12分 略 21. 设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程组，联解可得a，b的值； （Ⅱ）转化为证明函数y=f（x）﹣（2x﹣2）的最大值不超过0，用导数工具讨论单调性，可得此函数的最大值． 【解答】解： （Ⅰ）f'（x）=1+2ax+， 由已知条件得：，即 解之得：a=﹣1，b=3 （Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x﹣x2+3lnx， 设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，则 = 当时0＜x＜1，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0 所以在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减 ∴g（x）在x=1处取得最大值g（1）=0 即当x＞0时，函数g（x）≤0 ∴f（x）≤2x﹣2在（0，+∞）上恒成立 22. （本小题满分14分）已知函数． （1）当时，求函数在区间上的取值范围； （2）当时，，求的值． 参考答案：