山东省聊城市杨官屯中学高三数学理期末试题含解析

山东省聊城市杨官屯中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.     B.    C.      D. 参考答案： D 略 2. 长方体内部挖去一部分的三视图如图所示，则几何体的体积为（   ） A．            B．            C．       D． 参考答案： C 由三视图可知，该几何体是一个长方体内部挖掉一个半圆锥，其中长方体的长宽高分别为 ，圆锥的底面半径为 ，高为 ，所以该几何体的体积为，故选C.   3. 8名运动员参加男子100米的决赛. 已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有                                       （    ）        A．360种                B．4320种               C．720种                D．2160种 参考答案： 答案：B 4. 参考答案： A 略 5. 下面四个条件中，使x＞y成立的充分不必要的条件是（　　） A． B．x＞y﹣1 C．x2＞y2 D．x3＞y3 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据不等式的性质以及充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：由＞＞0，得：x＞y＞0，是x＞y的充分不必要条件，正确； 由x＞y﹣1，推不出x＞y，错误； 由x2＞y2，得：|x|＞|y|，推不出x＞y，错误； 由x3＞y3能得到x＞y，反之也成立，是充分必要条件，错误； 故选：A． 6. 的值是   （     ） A．2      　      B． 1　            C． －2　　      　   D．　 －1  参考答案： B 略 7. 复数为虚数单位)的虚部为（   ） A．1            B. -1           C.             D. 0 参考答案： B 8. 函数y=的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数的图象． 【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可． 【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A． 当x→﹣∞时，y→+∞，排除B， 当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D， 故选：C 9. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　) A．－13           B．－15         C．10                  D．15 参考答案： A 10. 如图正四面体（所有棱长都相等）D﹣ABC中，动点P在平面BCD上，且满足∠PAD=30°，若点P在平面ABC上的射影为P′，则sin∠P′AB的最大值为（　　） A． B．C． D． 参考答案： A 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】由题意可知：当点P取线段CD的中点时，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值．过D作DO⊥平面ABC，可得点O是等边三角形的中心，连接CO延长与AB相交于点M，CM⊥AB．经过点P作PP′⊥CO，垂足为点P′，则PP′⊥平面ABC，点P′为点P在平面ABC的射影，则点P′为CO的中点．进而得出答案． 【解答】解：由题意可知：当点P取线段CD的中点时，可得到∠P′AB的最大，并且得到sin∠P′AB的最大值． 过D作DO⊥平面ABC，则点O是等边三角形的中心，连接CO延长与AB相交于点M，CM⊥AB．经过点P作PP′⊥CO，垂足为点P′，则PP′⊥平面ABC，点P′为点P在平面ABC的射影，则点P′为CO的中点． 不妨取AB=2，则MP′=，∴AP′==． sin∠P′AM==． 故选：A． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则的值等于______  _ . 参考答案： 12. 已知向量，若向量与向量共线，则实数k=　  　． 参考答案： -1 【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】根据向量的坐标运算和向量的共线定理即可求出 【解答】解：∵向量， ∴向量=（k﹣1，k）， ∵量与向量共线， ∴（k﹣1）×1=k×2， 解得k=﹣1， 故答案为：﹣1． 13. 关于函数 （1）是f(x)的极小值点； （2）函数有且只有1个零点； （3）恒成立； （4）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则． 上述说法正确的序号为_______． 参考答案： （1）（2）（4） 【分析】 利用导数研究函数的极值点、单调性以及零点，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】（1）因为，故可得，令，解得， 故可得在区间单调递减，在单调递增，故是的极小值点； 故（1）正确； （2）令，故可得在恒成立， 故在单调递减； 又当时，，当时，， 故可得在区间上只有一个零点；故（2）正确； （3）令，故可得在恒成立， 故可得在定义域上单调递减； 又当，故区间不恒成立， 即在区间上不恒成立；故（3）错误. （4）由题可知，故可得， 则，令，解得， 故可得在区间单调递减，在区间单调递增. 故，故在单调递增. 要满足题意，只需， 等价于在上至少有两个不同的正根， 也等价于与直线在区间至少有两个交点. 又，故可得， 令，故可得在区间恒成立， 故可得在上单调递增，又， 故可得区间上单调递减，在区间上单调递增. 则要满足题意，只需， 又因为，则.故（4）正确. 综上所述，正确的有：（1）（2）（4）. 故答案为：（1）（2）（4）. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点和零点、方程的根、参数的范围，属压轴题. 14. 函数f(x)=ax+的值域为_________. 参考答案： 令则且，所以，所以原函数等价为，函数的对称轴为，函数开口向上。因为，所以函数在上函数单调递增，所以，即，所以函数的值域为。 15. 正三角形中，,是边上的点， 且满足，则=     . 参考答案： 【知识点】平面向量的数量积及应用F3 【答案解析】  由于正三角形ABC中，AB=3，D是边BC上的点，且满足，则点D为线段BC的中点，故有AD=AB?sin∠B=3×=，且∠BAD=， 则=AB?AD?cos∠BAD=3××=，故答案为：． 【思路点拨】由条件利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得AD和∠BAD的值，可得 =AB?AD?cos∠BAD 的值． 16. 的展开式中的系数是 。（用数字作答） 参考答案： 10 17. 若2x+y =2，则 的最小值为________． 参考答案： 6 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数，，其中的函数图象在点处的切线平行于轴． （Ⅰ）确定与的关系； （II）若，试讨论函数的单调性； （Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（） 证明：． 参考答案： 增； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 （3）依题意得， 证，即证 因，即证 令（），即证（） 令（）则 ∴在（1，+）上单调递增， ∴=0，即（）。。① 令u(x)=lnt –t +1 ∵uˊ(x)=1/t-1=(1-t)/t 又∵t>1 ∴u(t)在（1，+∞）单调递减 ∴u（t）﹤u (1)=0 ∴lnt﹤t-1 。。 ② 综①②得（），即． 。。。。。。。。。。12分 19. （本小题满分13分）        设函数    （Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；    （Ⅱ）记的内角A，B，C的对边分别为，若，求角C的值。 参考答案： 解：（I）                                    ………………………………3分         的周期为  ………………………………………………………4分         因为，所以,所以值域为 ……………………6分      （II）由（I）可知，               ………………………………………………………7分      ,     …………………………………………8分            ∴  ……………………………………………………9分        且  …………………………………………………10分      ,        …………………………………………11分      ，          ……………………………………………12分          ………………………………………………………13分 略 20. 甲队有4名男生和2名女生，乙队有3名男生和2名女生． （Ⅰ）如果甲队选出的4人中既有男生又有女生，则有多少种选法？ （Ⅱ）如果两队各选出4人参加辩论比赛，且两队各选出的4人中女生人数相同，则有多少种选法？ 参考答案： 解：（Ⅰ）甲队选出的4人中既有男生又有女生，则选法为 种                                 …（6分） （或种）               ………（6分） （Ⅱ）两队各选出的4人中女生人数相同，则选法为 种             ……（12分） 略 21. （本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90o，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，E为PD的中点． (1) 求证：CE∥平面PAB； (2) 求PA与平面ACE所成角的大小； (3) 求二面角E－AC－D的大小． 参考答案： 解（1）. 证明：取PA的中点F，连结FE、FB，则 FE∥BC，且FE＝AD＝BC，∴BCEF是平行四边形， ∴CE∥BF，而BFì平面PAB，∴CE∥平面PAB． (2) 解：取 AD的中点G，连结EG，则EG∥AP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则∠GEH为直线EG与平面ACE所成的角．现用等体积法来求GH．  ∵VE－AGC＝S△AGC·EG＝ 又AE＝，AC＝CE＝，易求得S△AEC＝， ∴VG－AEC ＝′′GH＝VE－AGC＝，∴GH＝ 在Rt△EHG中，sin∠GEH＝＝，即PA与平面ACE所成的角为arcsin．  (3) 设二面角E－AC－D的大小为a． 由面积射影定理得cosa＝＝，∴a＝arccos，即二面角E－AC－D的大小为arccos． 略 22. (12分)已知函数 (1)求的极值 (2)求在[1,2]上的最小值 参考答案：