2022年广西壮族自治区柳州市民族高级中学高三数学理联考试题含解析

2022年广西壮族自治区柳州市民族高级中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如下图，将半径为l的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部分）．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为 A.      B.       C.      D. 参考答案： A 2. 若，则的值为（    ） A． 3        B．5       C．      D． 参考答案： D 由，可得. . 故选D.   3. 已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足|﹣+2|=2，则||的最大值为（　　） 　 A． 2+ B． 2﹣ C． +2 D． ﹣2 参考答案： A 略 4. 曲线上切点为的切线方程是（  ） （A）   （B）  （C）　　（D）或    参考答案： A 导数则切线斜率，所以切线方程为，即切线为选A. 5.  若，则的取值范围是                                       (    ） A．（0，1）                         B．（0，） C．（，1）                         D．（0，1）∪（1，+∞） 参考答案： C 6. 设，则二项式展开式中不含项的系数和是 A．        B．            C．             D． 参考答案： B 7. 执行如图所示的程序框图，那么输出的的值为（   ） A．         B．         C．         D． 参考答案： C 8. 已知函数与其导函数的图象如图，则满足的的取值范围为（   ） A．(0,4)        B．(－∞,0),(1,4)        C.          D．(0,1)(4,+∞) 参考答案： D 9. 从集合任意取出两个数，这两个数的和是偶数的概率是（　　） A．　　　　B．　　　C．　　　　　D．　　　　 参考答案： C 10. 若直线与不等式组表示的平面区域无公共点，则的取值范围是    A.              B.           C.          D.R 参考答案： 【知识点】简单的线性规划  E5 【答案解析】C  解析：不等式组表示的平面区域是由点围成的三角形区域（包括边界）                       若直线与此平面区域无公共点，                       则，                       表示的平面区域是如图所示的三角形区域（除去边界和原点）                                             设，平移直线， 当直线经过点A1（0，1）时，z最大为z=3， 当经过点B1（-2，-1）时，z最小为z=-7 所以的取值范围是 故选：C 【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用直线与平面区域无公共点建立满足的条件关系，即可得到结论 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过双曲线的右焦点Ｆ和虚轴端点Ｂ作一条直线，若右顶点Ａ到直线ＦＢ的距离等于，则双曲线的离心率　　　　　　　 参考答案： 2 略 12. 数列{an}中，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+n，a1=1则a100=　    　． 参考答案： 1226 【考点】8H：数列递推式． 【分析】利用数列的递推关系式，推出偶数项的关系，然后求解即可． 【解答】解：数列{an}中，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a1=1， 则a2=1﹣1=0，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，可得：a2n+2=a2n+1+（﹣1）n+1，a2n+1=a2n+n， 可得a2n+2=a2n+n+（﹣1）n+1， a4=a2+1+（﹣1）1+1， a6=a4+2+（﹣1）2+1， a8=a6+3+（﹣1）3+1， … a100=a98+49+（﹣1）49+1， 可得a100=0+1+2+3+…+49+1﹣1+1﹣1+…+1 ==1226． 故答案为：1226． 13. （6分）关于曲线C：=1，给出下列四个结论： ①曲线C是椭圆；              ②关于坐标原点中心对称； ③关于直线y=x轴对称；      ④所围成封闭图形面积小于8． 则其中正确结论的序号是　　．（注：把你认为正确命题的序号都填上） 参考答案： ②④ 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： ①根据椭圆的方程判断曲线C：=1不是椭圆； ②把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），判断曲线C是否关于原点对称； ③把曲线C中的（x，y ）同时换成（y，x ），判断曲线C是否关于直线y=x对称； ④根据|x|≤2，|y|≤1，判断曲线C：=1所围成的封闭面积是否小于8． 解答： 解：对于①，∵曲线C：=1，不是椭圆方程，∴曲线C不是椭圆，∴①错误； 对于②，把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，②正确； 对于③，把曲线C中的（x，y ）同时换成（y，x ），方程变为+x4=1，∴曲线C不关于直线y=x对称，③错误； 对于④，∵|x|≤2，|y|≤1，∴曲线C：=1所围成的封闭面积小于4×2=8，∴④正确． 综上，正确的命题是②④． 故答案为：②④． 点评： 本题考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题． 14. 已知数列若，求=_______。（用数字作答） 参考答案： 923 略 15. 函数y=sin2x的最小正周期是　  　． 参考答案： π 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论． 【解答】解：函数y=sin2x的最小正周期是=π， 故答案为：π． 　 16. 若实数x，y满足，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣，则m=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】简单线性规划． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断目标函数的最优解，求解即可． 【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图所示， z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣， 可知目标函数的最优解过点A， 由，解得A（，3）， ∴﹣=a﹣3， 解得m=1， 故答案为：﹣1 17. 已知函数，则f（1+log25）的值为　　． 参考答案： 【考点】函数的值． 【分析】已知分段函数的解析式，把1+log25代入相对应的函数值，再进行代入分段函数进行求解； 【解答】解， ∵1+log25＜4， f（1+log25）=f（2+log25）==， 故答案为：； 【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证； 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程； （2）直线OP：θ=（p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆C的极坐标方程； （2）利用|MN|=|ρ1﹣ρ2|，求线段MN的长． 【解答】解：（1）（x﹣）2+（y+1）2=9可化为x2+y2﹣2x+2y﹣5=0， 故其极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．… （2）将θ=代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，得ρ2﹣2ρ﹣5=0， ∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=﹣5， ∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|==2．… 19. （本小题满分12分） 如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点。 （Ⅰ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60o，求四棱锥P－ABCD的体积。 参考答案： 略 20. （本小题满分14分） 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，且椭圆过点. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）直线过点M交椭圆于A、B两点，且，求直线的方程． 参考答案： 解：(1)设椭圆方程为（>b>0）．………1分 双曲线的焦点坐标分别为和 椭圆焦点坐标分别为和  c=1，即………① 又椭圆过点，………②                  ………4分 由① ②得，，∴所求椭圆方程为 ．     ………7分 (2) 若直线的斜率k不存在，即轴，由椭圆的对称性知，则不满足． 当直线的斜率k存在时，设直线的方程为．………2分 设A则---------① -------- ②  （点差法） 由知M为AB的中点，     ………4分 ①－②得　 ∴，.∴直线的方程为：即．…7   21. 本题计14分）点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F． （I）若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程； （II）已知点F（1，0），设过点F的直线交椭圆于C、D两点，若直线绕点F任意转动时，恒有成立，求实数的取值范围． 参考答案： （I）ABM是边长为2的正三角形，∴圆的半径r=2， ∴M到y轴的距离  又圆M与x轴相切，∴当∴         ∴ ∴解得a=3或a=－1（舍去），则 故所求椭圆方程为                                （II）（方法1）①当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得 解得（舍去），即     ②当l不垂直x轴时，设，直线AB的方程为 得 则  得恒成立．   ，由题意得，恒成立． 当不是恒成立的． 当，恒成立．当恒成立, ， 解得 综上，a的取值范围是                               （方法2）设 ①当直线CD与x轴重合时，有 恒有         ②当直线C不与x轴重合时，设直线CD的方程为 整理得 恒为钝角， 则恒成立           又恒成立， 即恒成立．当时， 解得 综上，a的取值范围是                               22. （本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，且，，． （1）求的值； （2）求的值． 参考答案： （1）； （2）．