2022-2023学年湖南省娄底市行知中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省娄底市行知中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 实数的最小值为（     ） A．         B.        C.      D. 参考答案： B 2. 已知数列 {an}，{bn}满足 bn=an+an+1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为 等差数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【解答】解：若数列{an}为等差数列，设公差为d， 则当n≥2时，bn﹣bn﹣1=an+an+1﹣an﹣1﹣an=an+1﹣an+an﹣an﹣1=2d为常数， 则数列{bn}为 等差数列，即充分性成立， 若数列{bn}为 等差数列，设公差为b， 则n≥2时，bn﹣bn﹣1=an+an+1﹣an﹣1﹣an=an+1﹣an﹣1=d为常数， 则无法推出an﹣an﹣1为常数，即无法判断数列{an}为等差数列，即必要性不成立， 即“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为 等差数列”充分不必要条件， 故选：A 3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=9时，，故输出i=9，退出循环，输出i的值为9． 【解答】解：当i=1时，；当i=2时，；当i=3时，， … 当i=9时，，故输出i=9， 故选B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题． 4. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（     ） A、        B、        C、     D、 参考答案： B 5. 已知平面向量，，.要得到的图像，只需将的图像（   ） A.向左平移个单位长度       B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度      Ｄ.向右平移个单位长度 参考答案： D 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： A 7. log2sin+ log2cos的值为  A. - 4      B. 4      C. 2      D. -2 参考答案： 答案：D 8. 设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数 在上递减，那么甲是乙的（   ） A.充分不必要条件             B.必要不充分条件    C.充要条件                   D.既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 9. 给定公比为 q ( q≠ 1)的等比数列{ a n }，设 b 1 = a 1 + a 2 + a 3 , b 2 = a 4 + a 5 + a 6 ,…, b n = a 3 n -2 + a 3 n -1 + a 3 n ,…，则数列{ b n }(   ) ( A )是等差数列                 ( B )是公比为 q 的等比数列 ( C )是公比为 q 3 的等比数列     ( D )既非等差数列也非等比数列 参考答案： C 　由题设，an=a1qn-1 ，则 　　 　　因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列． 10. 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆都相切，则双曲线C的离心率是（    ） A．2或         B．2或       C. 或        D．或 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的定义域为　 　 　  　． 参考答案： 试题分析：由题意可知，解得. 考点：函数的定义域. 12. 已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，点P在曲线C上，若中，，则双曲线C的渐近线方程为______. 参考答案： 【分析】 利用已知条件求出P的坐标（x，y）满足的条件，然后求解a，b的关系即可， 【详解】如图，过B作BM⊥x轴， ∵∠PBA＝∠PAB，则∠PAB＝∠PBM， ∴∠PAB+∠PBx．即kPA?kPB＝1． 设P（x，y），又A（﹣a，0），B（a，0）． ，∴x2﹣y2＝a2， ∴a＝b，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 故答案为：y＝±x 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题． 13. 已知函数满足，，则的取值范围是                   参考答案： 14. 复数z=1+在复平面上对应的点到原点的距离为　　． 参考答案： 略 15. 设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T?f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数f（x）=x是“似周期函数”； ③函数f（x）=2x是“似周期函数”； ④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”． 其中是真命题的序号是　    　．（写出所有满足条件的命题序号） 参考答案： ①④ 【考点】抽象函数及其应用． 【分析】①由题意知f（x﹣1）=﹣f（x），从而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）； ②由f（x+T）=T?f （x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断； ③由f（x+T）=T?f （x）得2x+T=T2x恒成立；从而可判断； ④由f（x+T）=T?f （x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得，从而解得． 【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1， ∴f（x﹣1）=﹣f（x）， ∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）， 故它是周期为2的周期函数， 故正确； ②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f （x）， 即x+T=Tx恒成立； 故（T﹣1）x=T恒成立， 上式不可能恒成立； 故错误； ③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f （x）， 即2x+T=T2x恒成立； 故2T=T成立，无解； 故错误； ④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f （x）， 即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立； 故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立； 即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立， 故， 故ω=kπ，k∈Z； 故正确； 故答案为：①④． 16. 定义在上的函数满足，则的值为              ． 参考答案： 17. 已知向量=（1,2），=（0,1），=（-1，m）．若（+2）∥，则实数m=　  　． 参考答案： ﹣4 【考点】平行向量与共线向量． 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程解方程即可． 【解答】解：向量， 则+2=（1，4）， 又， ∴m﹣4×（﹣1）=0， 解得m=﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M． （Ⅰ） 试比较ab+1与a+b的大小； （Ⅱ） 设maxA表示数集A中的最大数，且h=max{，， }，求h的范围． 参考答案： 【考点】R5：绝对值不等式的解法；72：不等式比较大小． 【分析】（1）先解不等式得出其解集M，再利用作差法比较大小即可； （2）不妨设0＜a≤b＜1，先找出其最大值，进而即可求出其范围． 【解答】解：由不等式|2x﹣1|＜1化为﹣1＜2x﹣1＜1解得0＜x＜1， ∴原不等式的解集M={x|0＜x＜1}， （Ⅰ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1． ∴（ab+1）﹣（a+b）=（1﹣a）（1﹣b）＞0， ∴ab+1＞a+b． （Ⅱ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1． 不妨设0＜a≤b＜1，则，∴； ． 故最大，即＞2． ∴h∈（2，+∞）． 【点评】熟练掌握绝对值不等式的解法、作差法比较数的大小及不等式的基本性质是解题的关键． 19. 已知函数f（x）=|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a． （1）当a=3时，求f（x）≥﹣10的解集； （2）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】5B：分段函数的应用；R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（1）求出a=3时，f（x）的解析式，去掉绝对值，运用二次不等式的解法，即可得到所求解集； （2）由题意可得|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立，即有|（x﹣1）2+a﹣2|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立．再讨论a﹣2≤0和a﹣2＞0，可得a的不等式，解不等式求交集，即可得到所求a的范围． 【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=|x2﹣2x+2|﹣15， 由x2﹣2x+2＞0恒成立，则f（x）=x2﹣2x﹣13， 由f（x）≥﹣10，可得x2﹣2x﹣3≥0， 解得x≥3或x≤﹣1， 即f（x）≥﹣10的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}； （2）f（x）≥0对x∈R恒成立， 即为|x2﹣2x+a﹣1|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立， 即有|（x﹣1）2+a﹣2|﹣a2﹣2a≥0对x∈R恒成立． 当a﹣2≤0即a≤2时，只需a2+2a≤0，即﹣2≤a≤0； 当a﹣2＞0，即a＞2时，只需a2+2a≤a﹣2，即a2+a+2≤0， 由判别式△=1﹣4×2＜0，可得不等式无实数解． 综上可得，a的取值范围是． 20. （本小题满分12分） 已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足 （I）求动点N的轨迹E的方程； （II）过点F且斜率为k的直线，与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得成立，请说明理由，   参考答案： （Ⅰ）y2=4x； （Ⅱ）见解析  【知识点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 （Ⅰ）设N（x，y），则由，得P为MN的中点． ∴，M（﹣x，0）．∴，． ∴，即y2=4x．∴动点N的轨迹E的方程y2=4x． （Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），由，消去x得． 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，y1y2=﹣4． 假设存在点C（m，0）满足条件，则，， ∴= ==． ∵，∴关于m的方程有解． ∴假设成立，即在x轴上存在点C，使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立． 【思路点拨】（Ⅰ）设出N点的坐标，由已知条件可知P为MN的中点，由题意设出P和M的坐标，求出和的坐标，代入?可求动点N的轨迹E的方程； （Ⅱ）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系写出A，B两点的纵坐标的和与积，假设存在点C（m，0）满足条件，则，由|CA|2+|CB|2=|AB|2成立得到，代入坐标后得到关于m的