2022-2023学年北京中滩中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年北京中滩中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的定义域为                      （    ）                                                                             A．         B.          C.           D. 参考答案： C 2. 将函数的图象左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 A．           B． C．     D． 参考答案： A 3. 数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（  ）     A．              B.             C.  或        D. 参考答案： C 4. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 A．          B．        C．     D． 参考答案： A  不合题意 排除,   合题意 排除   另：，  得：. 5. 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（　　） A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3 C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2 参考答案： C 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】首先列表，然后根据表格点数之和不超过5，点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：列表得： （1，6）     （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） ∴一共有36种等可能的结果， ∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况， ∴向上的点数之和不超过5的概率记为p1=，点数之和大于5的概率记为p2=，点数之和为偶数的概率记为p3=， ∴p1＜p3＜p2 故选：C． 【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的表达式可以是 A. B. C. D. 参考答案： A 7. 设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（　　） A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 参考答案： D 【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案． 【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确． 故选D． 8. （4）函数的一个零点所在的区间是 （A）(0,1)       （B）(1,2)     （C）(2,3)       （D）(3,4) 参考答案： B 9. 如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算出的值. 【详解】为的中点，且为的中点，所以，， ，，. 因此，，故选：A. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题. 10. 函数图象可能为(    ) A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由函数定义域，函数为奇函数，，结合分析即得解. 【详解】函数定义域：，在无定义，排除C， 由于，故函数为奇函数，关于原点对称，排除B， 且，故排除D 故选：A 【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线到直线的距离是                  参考答案： 4 12. 如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为　　千米/时． 参考答案： 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形． 【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度． 【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1． 在Rt△PAC中，∠APC=60°， ∴AC=3． 在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°， ∴BC==． 则船的航行速度÷=． 故答案为：． 【点评】本题主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力，考查学生的计算能力，比较基础． 13. 某小区共有1500人，其中少年儿童，老年人，中青年人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么老年人被抽取了             人 参考答案： 20 略 14. 函数，其中满足且∥，则_________。                                                                                               参考答案： 3 略 15. 已知a∈R，函数为奇函数．则f（﹣1）=        ，a=          ． 参考答案： 0，1. 考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数的解析式奇偶性得出f（﹣1）=1﹣1=0，f（1）=﹣f（﹣1）=0，求解得出a﹣1=0即可求解a的值． 解答： 解；∵函数为奇函数 ∴f（﹣1）=1﹣1=0， ∵f（1）=a﹣1， ∴a﹣1=0，a=1， ∴f（x）=， 满足f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（x）为奇函数 故答案为：0，1 点评：本题考查了函数的性质，运用解析式，奇偶性求解函数值，参变量的值，属于容易题． 16. 若存在实数，使成立，则实数的取值范围是           ． 参考答案：   略 17. 在用二分法求方程f(x)＝0在0,1上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)． 参考答案： 0.75或0.6875 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足， (Ⅰ)求数列和的通项公式； (Ⅱ)令设数列的前项和，求 参考答案： (Ⅰ) ，；  (Ⅱ)  【知识点】等差、等比数列的性质；数列的和D2 D3 D4 解析：(Ⅰ)设数列的公差为d，数列的公比为q，则 由得解得 所以，．                       …………………4分 (Ⅱ)由，得，                  则即         …………………6分      …………………9分                      …………………12分 【思路点拨】(Ⅰ) 设数列的公差为d，数列的公比为q，列方程组求解后再写出其通项公式；(Ⅱ)先由，得，然后再求和即可。 19. f（x）=|x﹣a|﹣lnx（a＞0）． （1）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值； （2）若a＞0，求f（x）的单调区间； （3）试比较++…+与的大小．（n∈N*且n≥2），并证明你的结论． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）先求出导函数fˊ（x），解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，判断函数的单调性即可； （2）求出函数的定义域；求出导函数，从导函数的二次项系数的正负；导函数根的大小，进行分类讨论；判断出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性． （3）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g（x）的最小值，只要最小值大于0即可． 【解答】解：（1）a=1，f（x）=|x﹣1|﹣lnx 当x≥1时，f（x）=x﹣1﹣lnx，f′（x）=1﹣=≥0 ∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的． x＜1时，f（x）=x﹣1﹣lnx，f′（x）=1﹣＜0 ∴f（x）在区间（0，1）减的． 故a=1时f（x）在[1，+∞）上是递增的，减区间为（0，1），f（x）min=f（1）=0 （2）当a≥1，x＞a，f（x）=x﹣a﹣lnx，f′（x）=1﹣， f（x）在[a，+∞）上是递增的， 0＜x＜a，f（x）=﹣x+a﹣lnx，f′（x）=﹣1﹣＜0 ∴f（x）在（0，a）递减函数， 0＜a＜1，x≥a，f（x）=x﹣a﹣lnx， f′（x）=1﹣，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0， f（x）在[1，+∞）递增函数f（x）在[a，1）递减函数， 0＜x＜a 时 f（x）=a﹣x﹣lnx，f′（x）=﹣1﹣＜0， ∴f（x） 在  （0，a）递减函数． 当a≥1 时 f（x）在[a，+∞），（0，a）增函数． 当0＜a＜1 时 f（x）在[1，+∞），（0，1）增函数． （3）当a=1  x＞1 时 x﹣1﹣lnx＞0  ∴=n﹣1﹣（++…+）＜n﹣1﹣（++…+）=n﹣1﹣（﹣+﹣+…+﹣）=n﹣1﹣（﹣）= 【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减．考查分类讨论的数学思想方法，函数的最值，不等式的证明，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化的数学思想，属于难题． 20. （本小题满分12分） 已知中，、、是三个内角、、的对边，关于的不等式 的解集是空集． （1）求角的最大值；     （2）若，的面积，求当角取最大值时的值． 参考答案： （1）显然 不合题意，则有，---------------------2分 即， 即， 故，----------4