广西壮族自治区玉林市南江高级中学高一数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区玉林市南江高级中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等比数列中，，则（    ） A．4      B．8      C．16     D．32 参考答案： C 2. 已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为（　　） A．16 B．2 C． D． 参考答案： C 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可． 【解答】解：设幂函数为y=xα， ∵幂函数y=f（x）的图象经过点（2，）， ∴=2α， 解得α=．y=x． f（4）==． 故选：C． 3. 已知||=1，||=2，∠AOB=150°，点C在∠AOB的内部且∠AOC=30°，设=m+n，则=（　　） A． B．2 C． D．1 参考答案： B 【考点】向量在几何中的应用． 【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用． 【分析】可画出图形，由可得到，根据条件进行数量积的运算便可得到，从而便可得出关于m，n的等式，从而可以求出． 【解答】解：如图， 由的两边分别乘以得： ； ∴； ∴得：； ∴； ∴． 故选：B． 【点评】考查向量夹角的概念，向量的数量积的运算及其计算公式． 4. 若关于x的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是          (   ) A．            B．             C．        D． 参考答案： B 5. 已知向量a，b，a⊥b，则实数（   ）； A． B． C． D． 参考答案： B 6. 的值为                                       （   ） （A）     （B）     （C）      （D）   参考答案： D 略 7. 方程的实数解所在的区间是 (     )          B.          C.          D. 参考答案： C 略 8. 在平行四边形ABCD中，BD为一条对角线，若， (－3,－5）则(   ) A．（－2，－4）     B．(1,3)              C．（3，5）     D．（2，4） 参考答案： B 9. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（　　） A．函数f（x）的最小正周期为π B．函数f（x）的值域为[﹣，] C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称 D．函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=Asinωx的图象 参考答案： A 【考点】正弦函数的图象． 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论． 【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得==﹣，∴ω=π． 再根据五点法作图可得π?+φ=0，∴φ=﹣，即f（x）=Asin（πx﹣）， 故函数的周期为=2，故排除A；由于A不确定，故函数f（x）的值域不确定，故排除B； 令x=﹣，可得f（x）=﹣A，为函数的最小值，故函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称，故C正确； 把函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=Asin[π（x﹣）﹣]=Asin（πx﹣）的图象，故D错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题． 10. 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（　　） 　 A． k≤10 B． k≤16 C． k≤22 D． k≤34 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 扇形的半径为cm，中心角为，则该扇形的弧长为          cm 参考答案： 12. 已知幂函数的图象过点，则=              ； 参考答案： 3 略 13. （4分）在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个实根，则tanC=          ． 参考答案： -7 考点： 两角和与差的正切函数． 专题： 计算题． 分析： 首先根据韦达定理表示出两根之和tanA+tanB与两根之积tanAtanB，然后根据三角形的内角和为π，把角C变形为π﹣（A+B），利用诱导公式化简后，然后再利用两角和的正切函数公式化简，把tanA+tanB与tanAtanB代入即可求出值． 解答： ∵tanA，tanB是方程3x2﹣7x+2=0的两个根， 则tanA+tanB=，tanAtanB=， ∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=﹣=﹣7 故答案为：﹣7 点评： 此题考查学生灵活运用韦达定理、诱导公式及两角和的正切函数公式化简求值，本题解题的关键是利用三角形本身的隐含条件，即三角形内角和是180° 14. （5分）已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）=           ． 参考答案： 考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 专题： 计算题． 分析： 设幂函数f（x）=xa，由幂函数f（x）的图象过，知，解得a=﹣，由此能求出f（4）． 解答： 设幂函数f（x）=xa， ∵幂函数f（x）的图象过， ∴， 解得a=﹣， ∴， 故f（4）==． 故答案为：． 点评： 本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 15. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是          . 参考答案： 16. 已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_____． 参考答案： (1,3) 【分析】 由题意可知，三点共线，且有，设出点的坐标，利用向量相等的条件建立方程求出点P的坐标 【详解】解：设 ，点P在直线上 ， ，则有 解得 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件.解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，再利用向量相等的条件得出坐标的方程求出P的坐标. 17. 已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=3，则f(-1)=        . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=|x2﹣4x+3|，x∈R． （1）在区间[0，4]上画出函数f（x）的图象； （2）写出该函数在R上的单调区间． 参考答案： 【考点】函数的单调性及单调区间；函数的图象． 【分析】（1）化简解析式，列表，描点，作图即可； （2）根据图象求解在R上的单调区间． 【解答】解：（1）函数f（x）=|x2﹣4x+3|=|（x﹣2）2﹣1|； （列表，描点，作图） x 0 1 2 3 4 y 3 0 1 0 3 （2）根据函数f（x）的图象，不难发现， 函数f（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减； 函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增； 函数f（x）在x∈[2，3]上单调递减； 函数f（x）在x∈[3，+∞）上单调递增． 19. 已知：定义在R上的函数f（x），对于任意实数a，b都满足f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）≠0，当x＞0时，f（x）＞1． （Ⅰ）求f（0）的值； （Ⅱ）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数； （Ⅲ）求不等式f（x2+x）＜的解集． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）令a=1，b=0，得出f（1）=f（1）?f（0 ），再结合当x＞0时，f（x）＞1．得出f（0）=1 （Ⅱ）设x1＜x2，由已知得出f（x2）=f（x1+（x2﹣x1））=f（x1）f（x2﹣x1）＞f（x1），即可判断出函数f（x）在R上单调递增． （Ⅲ）由（Ⅱ），不等式化为x2+x＜﹣2x+4，解不等式即可． 【解答】解：（Ⅰ）令a=1，b=0则f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）， ∵f（1）≠0， ∴f（0）=1， （Ⅱ）证明：当x＜0时﹣x＞0 由f（x）f（﹣x）=f（x﹣x）=f（0）=1，f（﹣x）＞0得f（x）＞0， ∴对于任意实数x，f（x）＞0， 设x1＜x2则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞1， ∵f（x2）=f（x1+（x2﹣x1））=f（x1）f（x2﹣x1）＞f（x1）， ∴函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数． （Ⅲ）∵ ∴， 由（Ⅱ）可得：x2+x＜﹣2x+4解得﹣4＜x＜1， 所以原不等式的解集是（﹣4，1）． 【点评】本题考查抽象函数求函数值、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化、牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路． 20. （本小题满分10分） 已知数列为等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证数列是等比数列，并指出公比的大小． 参考答案： 解. (Ⅰ)∵数列为等差数列,设公差为    ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 由,得,  ∴                                   ┈┈┈┈┈┈┈5分         ┈┈┈┈┈┈6分 (Ⅱ)∵,∴          ┈┈┈┈9分 ∴数列是公比为9的等比数列   ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 21. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当≤0时， ． (1)现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数的图像，并根据图像写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式和值域. 参考答案： 略 22. 已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b（a＞0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2． （1）求a，b的值；  （2）若g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）由于函数f（x）=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），对称轴为x=1，分当a＞0时、当a＜0时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值． （2）由（1）可求出g（x），再根据[2，4]上是单调函数，利用对称轴得到不等式组解得即可． 【解答】解：（1）由于函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），对称轴为x=1， ∵a＞0，则函数f（x）在区间[2，3]上单调递增， 由题意可得，解得， （2）则由（1）可得，b=0，a=1，则g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2， 再由函数g（x）在[2，4]上为单调函数，可得或， 解得 m≤2，或m≥6， 故m的范围为（﹣∞，2]∪[6，+∞）． 【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．