山西省运城市中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，为正四面体，于点，点均在平面外，且在平面的同一侧，线段的中点为,则直线与平面所成角的正弦值为 （ ）
A． B． C. D.
参考答案：
A
2. 幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x5m+3在（0，+∞）上是增函数，则m=（ ）
A．2 B．﹣1 C．4 D．2或﹣1
参考答案：
A
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m的值．
【解答】解：根据幂函数的定义和性质，得；
m2﹣m﹣1=1，解得：m=2或m=﹣1，
m=2时，f（x）=x13在（0，+∞）上是增函数，符合题意，
m=﹣1时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上是减函数，不合题意，
故m=2，
故选：A．
3. 函数y=3|log3x|的图象是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．
【解答】解：y=3|log3x|=，即y=
由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线y=x的一部分，
考察四个选项，只有A选项符合题意，
故选A．
4. 设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. 与共线 D.
参考答案：
D
【分析】
由正方形的基本性质和向量的基本性质可得答案.
【详解】解：如图，与方向相同，长度相等，A正确；
,,三点在一条直线上，，B正确；
，与共线，C正确；
与方向不同，，D错误.
故选D.
【点睛】本题考查相等向量、共线向量.熟练掌握相等向量和共线向量的定义是解决本题的关键.
5. 已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题．
【分析】由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，求出四棱锥的底面面积，然后求出四棱锥的体积．
【解答】解：一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，
则四棱锥的底面面积为：2，所以四棱锥的体积为： =；
故选D．
【点评】本题是基础题，在斜二测画法中，平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的面积之比为2，是需要牢记的结论，也是解题的根据．
6. 若 ，则的定义域为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
7. （5分）已知集合A={0，1，2，4}，B={﹣1，0，1，3}，则A∩B=（）
A． {﹣1，0，1，2，3，4} B． {0，1} C． {﹣1，2，3，4} D． {0，1，2}
参考答案：
B
考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 由A与B，求出A与B的交集即可．
解答： 解：∵A={0，1，2，4}，B={﹣1，0，1，3}，
∴A∩B={0，1}，
故选：B．
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
8. 将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=120°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
由题意，将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使∠BDC=120°，可得三棱锥A﹣BCD，且AD垂直于底面△BCD，
底面△BCD中∠BDC=120°，DC=DB=1，那么BC=，
∴底面△BCD外接圆半径：2r=，即r=1．
AD垂直于底面△BCD，AD=，
∴球心与圆心的距离为，
球心与圆心垂直构造直角三角形，
∴球O的半径R2==．
球O的表面积S=4πR2=7π．
故选：B．
9. 已知集合则( ).
A． B． C． D．
参考答案：
C
10. 某篮球运动员在一个赛季的场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和众数分别是 （ ）
A．21,23 B.25,23 C.23,23 D.21,25
参考答案：
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将五进制化成四进位制数是__ __.
参考答案：
12. （6分）（2015秋淮北期末）（A类题）如图，在棱长为1的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中选取四个点A1，C1，B，D，若A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
参考答案：
3π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．
【分析】由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为，即可求出球的表面积．
【解答】解：由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为，
∴球的表面积为=3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．
13. 已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足
，则的最小值是 .
参考答案：
-2
14. 已知数列的前项和，则此数列的通项公式为
参考答案：
15. 要得到的图象, 则需要将的图象向左平移的距离最短的单位为 .
参考答案：
略
16. 若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A、B、C三点共线,则x＝ ．
参考答案：
10
17. 已知，，那么的值为________
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数其中P，M是非空数集．记f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．
（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；
（Ⅱ）若P∩M＝?，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；
（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．
参考答案：
（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析
【分析】
(Ⅰ)求出f (P)＝[0，3]，f (M)＝ (1，+∞)，由此能过求出f (P)∪f (M)．
(Ⅱ)由f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，得到当x＜0时，f (x)＜0， (﹣∞，0)?P． 同理可证 (0，+∞)?P． 由此能求出P，M．
(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f (﹣x0)＝﹣x0，且f (﹣x0)＝﹣ (﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f (P)∪f (M)≠R”是真命题．
【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，
所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，
所以f(P)∪f (M)＝[0，+∞)．
(Ⅱ)因为f (x)是定义在R上的增函数，且f (0)＝0，
所以当x＜0时，f (x)＜0，
所以(﹣∞，0)?P． 同理可证(0，+∞)?P．
因为P∩M＝?，
所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．
(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：
假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f (P)∪f (M)＝R．
首先证明0∈P∪M．否则，若0?P∪M，则0?P，且0?M，
则0?f (P)，且0?f (M)，
即0?f (P)∪f (M)，这与f (P)∪f (M)＝R矛盾．
若?x0?P∪M，且x0≠0，则x0?P，且x0?M，
所以x0?f (P)，且﹣x0?f (M)．
因为f (P)∪f (M)＝R，
所以﹣x0∈f (P)，且x0∈f (M)．
所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．
所以f (-x0)＝﹣x0，且f (-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，
根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．
综上，该命题为真命题．
【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19. 已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}．
（1）求A∩B；B∪（?UA）；
（2）已知集合C={x|a≤x≤a+2}，若C??UB，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）根据集合的基本运算即可求A∩B，（?UA）∪B；
（2）?UB，求出根据C??UB，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）全集U=R，集合A={x|2＜x＜9}，B={x|﹣2≤x≤5}．
则：?UA={x|2≥x或x≥9}
那么：A∩B={x|2＜x≤5}；
B∪（?UA）={x|5≥x或x≥9}．
（2）集合C={x|a≤x≤a+2}，B={x|﹣2≤x≤5}．
则：?UB={x|﹣2＞x或x＞5}，
∵C??UB，
∴需满足：a+2＜﹣2或a＞5，
故得：a＜﹣4或a＞5，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（5，+∞）．
20. 若函数为奇函数，当时，（如图）．
（1）求函数的表达式，并补齐函数的图象；
（2）用定义证明：函数在区间上单调递增．
参考答案：
（1） 任取，则由为奇函数，
则
综上所述，
补齐图象。（略）
（2）任取，且，
则
∵ ∴
又由，且，所以，∴
∴，∴，即
∴函数在区间上单调递增。
略
21. .已知函数y= （A＞0, ＞0,）的最小正周期为，
最小值为-2，图像过（，0），求该函数的解析式。
参考答案：
解： ， （3分）
又， （5分）
所以函数解析式可写为ks5u
又因为函数图像过点（，0），
所以有： 解得 （7分）
（少一个扣4分） （12分）
所以，函数解析式为： （14分）
略
22. 定义在[－1，1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[0,1]时的解析式为 (a∈R)．
(1)求f(x)在[-1,0]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a)．
参考答案：
解： (1)设x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，，
又∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴ x∈[0,1]．
(2)∵，x∈[0,1]，令t＝2x，t∈[1,2]．∴g(t)＝at－t2＝－(t－)2＋.
当≤1，即a≤2时，h(a)＝g(1)＝a－1；
当1<<2，即2
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