湖北省武汉市三里桥中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

湖北省武汉市三里桥中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 5.为了得到函数的图像，只需把上所有的点 A.向左平行移动个单位             B. 向右平行移动个单位 C. 向左平行移动个单位            D. 向右平行移动个单位 参考答案： B 略 2. 若动圆C的圆心在抛物线上，且与直线相切，则动圆C必过一个定点，该定点坐标为（  ） A. (1,0) B. (2,0) C. (0,1) D. (0,2) 参考答案： A 【分析】 直线为的准线，圆心在该抛物线上，且与直线相切，则圆心到准线的距离即为半径，那么根据抛物线的定义可知定点坐标为抛物线焦点. 【详解】由题得，圆心在上，它到直线的距离为圆的半径，为的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点(1,0)，故选A. 【点睛】本题考查抛物线的定义，属于基础题. 3. 直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是(    ) A．相切                     B．相离 C．直线过圆心            D．相交但直线不过圆心 参考答案： D 略 4. 下列函数中，最小值为4的函数是(     ) A． B． C．y=ex+4e﹣x D．y=log3x+logx81 参考答案： C 【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】利用基本不等式可得=4，注意检验不等式使用的前提条件． 【解答】解：∵ex＞0，4e﹣x＞0， ∴=4， 当且仅当ex=4e﹣x，即x=ln2时取得等号， ∴y=ex+4e﹣x的最小值为4， 故选C． 【点评】本题考查基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要注意条件：“一正、二定、三相等”． 5. 设。“”是“复数是纯虚数”的（   ） A．充分而不必要条件           B．必要而不充分条件 C．充分必要条件               D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 6. 点在椭圆上，则的最大值为 A．         B．         C．5          D．6 参考答案： A 7. 若，都是实数，则“”是“”的（     ）   A．充分而不必要条件             B．必要而不充分条件 C．充分必要条件             D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 8. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（　　） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 参考答案： A 【考点】F6：演绎推理的基本方法． 【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论． 【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题， 因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点， ∴大前提错误， 故选A． 9. 用边长为18cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（  ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 参考答案： C 【分析】 设截去的小正方形的边长为x,求出铁盒的容积的解析式，再利用导数求函数的最值和此时x的值得解. 【详解】设截去的小正方形的边长为x, 则铁盒的长和宽为18-2x,高为x, 所以， 所以， 所以函数在（0,3）单调递增，在（3,9）单调递减， 所以当x=3时，函数取最大值. 故选:C 【点睛】本题主要考查导数应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理应用能力. 10. 计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有 A 24种      B  36种         C  42种         D  60种 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为　　． 参考答案： 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±，0），离心率为，由此能求出椭圆方程． 【解答】解：由椭圆+=1， 得a2=9，b2=4， ∴c2=a2﹣b2=5， ∴该椭圆的焦点坐标为（±，0）． 设所求椭圆方程为，a＞b＞0， 则，又，解得a=5． ∴b2=25﹣5=20． ∴所求椭圆方程为：． 故答案为：． 12. 若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，则该抛物线的方程为_______ 参考答案： 13. 观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有　　　　　　个小正方形． 参考答案： 考点：归纳推理．  专题：规律型． 分析：由题意可得，f（1）=2+1，f（2）=3+2+1，f（3）=4+3+2+1，f（4）=5+4+3+2+1，f（5）=6+5+4+3+2+1，从而可得f（n），结合等差数列的求和公式可得． 解答：解：由题意可得，f（1）=2+1 f（2）=3+2+1 f（3）=4+3+2+1 f（4）=5+4+3+2+1 f（5）=6+5+4+3+2+1 … f（n）=（n+1）+n+（n﹣1）+…+1=． 故答案为：． 点评：本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是要根据前几个图形的规律归纳出f（n）的代数式，考查了归纳推理的能力． 14. 数列的前n项和是          ． 参考答案： 15. 若数据组的平均数为3，方差为3，则的平均数为，方差为． 参考答案： 12 略 16. “”是“”的                 条件. 参考答案： 充分不必要 略 17. 已知则cos α＝________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，P(cosα，sinα)，其中0≤α≤． (1)若cosα＝，求证：⊥； (2)若∥，求sin(2α＋)的值． 参考答案： (1)法一：由题设，知＝(－cosα，－sinα)， ＝(－cosα，－sinα)， 所以·＝(－cosα)(－cosα)＋(－sinα)2 ＝－cosα＋cos2α＋sin2α ＝－cosα＋1. 因为cosα＝，所以·＝0.故⊥. 法二：因为cosα＝，0≤α≤，所以sinα＝， 所以点P的坐标为(，)． 所以＝(，－)，＝(－，－)． ·＝×(－)＋(－)2＝0，故⊥. (2)由题设，知＝(－cosα，－sinα)， ＝(－cosα，－sinα)． 因为∥，所以－sinα·(－cosα)－sinαcosα＝0，即sinα＝0. 因为0≤α≤，所以α＝0. 从而sin(2α＋)＝． 19. 袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏．甲先摸出一个球．记下编号，放回后再摸出一个球，记下编号，如果两个编号之和为偶数．则算甲赢，否则算乙赢． （1）求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率： （2）试问：这种游戏规则公平吗．请说明理由． 参考答案： 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题：概率与统计． 分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5种等可能的结果，满足条件的事件可以通过列举法得到，根据古典概型的概率公式得到结果． （2）要判断这种游戏是否公平，只要做出甲胜和乙胜的概率，先根据古典概型做出甲胜的概率，再由1减去甲胜的概率，得到乙胜的概率，得到两个人胜的概率相等，得到结论． 解答： 解：（1）由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5=25（个）等可能的结果， 设“两个编号和为6”为事件A， 则事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个， 根据古典概型概率公式得到P（A）== （2）这种游戏规则是不公平的． 设甲胜为事件B，乙胜为事件C， 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个： （1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4）， （3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4）， （5，1），（5，3），（5，5） ∴甲胜的概率P（B）= 乙胜的概率P（C）=1﹣P（B）= ∴这种游戏规则是不公平的． 点评：本题考查古典概型及其概率公式，考查利用列举法得到试验包含的所有事件，考查利用概率知识解决实际问题，本题好似一个典型的概率题目． 20. 已知：，：>0）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 参考答案： 解：：,： (4分） 实数m的取值范围是{m|} (12分）   略 21. 已知⊙O：x2+y2=1，点S（2，m）（m≠0）是直线l：x=2上一动点，⊙O与x轴的交点分别为A、B．连接SA交⊙O于点M，连接SB并延长交⊙O于点N，连接MB并延长交直线l于点T． （1）证明：A，N，T三点共线； （2）证明：直线MN必过一定点（其坐标与m无关）． 参考答案： ： 证明：（1）如图，S（2，m），A（﹣1，0），B（1，0）； 则直线SA：y=（x+1），与圆的方程x2+y2=1联立消元可得， （9+m2）x2+2m2x+m2﹣9=0， 解得， x=﹣1或x=﹣1+； 故y=（﹣1++1）=； 即M（﹣1+，）； 直线SB：y=m（x﹣1），与圆的方程x2+y2=1联立消元可得， （1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣1=0， 解得，x=1或x=1﹣； 故y=m（1﹣﹣1）=﹣； 即N（1﹣，﹣）； 直线MB：y=（x﹣1）， 代入x=2得， y==﹣， 即T（2，﹣）； 故kAN==﹣； kAT==﹣； 故A，N，T三点共线； （2）直线MN的方程为： y+=（x﹣1+）； 即y+=（x﹣1+）； y=（x+）﹣ =（x+﹣?） =（x﹣）； 故直线MN必过定点（，0）． 考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 计算题；作图题；证明题；直线与圆． 分析： （1）如图，S（2，m），A（﹣1，0），B（1，0）；从而表示出直线SA，直线SB的方程，与圆的方程联立求M，N的坐标，再写出直线MB的方程，从而求得点T的坐标，再求AN，AT的斜率，判断斜率相等即可； （2）由题意写出直线MN的方程y+=（x﹣1+）；化简y+=（x﹣1+）；再化简y=（x+）﹣=（x+﹣?）=（x﹣）；从而得证． 解答： 证明：（1）如图，S（2，m），A（﹣1，0），B（1，0）； 则直线SA：y=（x+1），与圆的方程x2+y2=1联立消元可得， （9+m2）x2+2