2022年山西省长治市南洋育栋学校高二数学理下学期期末试卷含解析

2022年山西省长治市南洋育栋学校高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设为等比数列的前n项和，已知,则公比q = (    ) A.3 B.4 C.5 D.6 参考答案： 2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n(n－40), 则下列判断正确的是（    ） A. a19＞0, a21＜0 B. a20＞0, a21＜0 C. a19＜0, a21＞0 D. a19＜0, a20>0 参考答案： C 略 3. 平面α与平面β平行的条件可以是（　　） A．α内有无穷多条直线与β平行 B．直线a∥α，a∥β C．直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α D．α内的任何直线都与β平行 【考点】平面与平面平行的判定． 【分析】当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交， 故不选A、B，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选 C，利用排除法应选D． 【解答】解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A． 当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选 B． 当直线a?α，直线b?β，且a∥β 时，直线a 和直线 b可能平行，也可能是异面直线，故不选 C． 当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行， 故选 D． 参考答案： D 4. 在面积为S的△ABC内任选一点P，则△PBC的面积小于的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】几何概型． 【分析】在三角形ABC内部取一点P，要满足得到的三角形PBC的面积是原三角形面积的一半，P点应位于过底边BC的高AD的中点，且平行于BC的线段上或其下方，然后用阴影部分的面积除以原三角形的面积即可得到答案． 【解答】解：如图，设△ABC的底边长BC=a，高AD=h， 则S=，若满足△PBC的面积小于， 则P点应位于过AD中点的与BC平行的线段上或下方， 所以测度比为下方梯形的面积除以原三角形的面积． 即p=． 故选A． 5. 如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 参考答案： D 【考点】A2：复数的基本概念． 【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1﹣i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值． 【解答】解：由题意知， ==， ∵（a∈R）为纯虚数， ∴2﹣a=0，解得a=2． 故选D． 6. 已知实数x,y满足约束条件则z=yx的最大值为（    ）  A.1     B.0    C.      D. 参考答案： A 7. 如图1所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为的正方形，点P是ED的中点，则P点到平面EFB的距离为（  ） A.       B.       C.        D. 参考答案： B 8. 已知抛物线y=﹣x2的焦点为F，则过F的最短弦长为(     ) A． B． C．4 D．8 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】当AB与y轴垂直时，通径长最短，即可得出结论． 【解答】解：由抛物线y=﹣x2可得：焦点F（0，﹣1）． ∴当AB与y轴垂直时，通径长最短，|AB|=2p=4． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的焦点弦长问题，利用通径长最短是关键． 9. 已知函数f（x）定义域为R，命题p：?x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0，则￢p是（　　） A．?x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0 B．?x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0 C．?x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0 D．?x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0 参考答案： B 【考点】2J：命题的否定． 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，?x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0， 故选：B 10. 抛物线的准线方程是（   ） A．x=1              B．x=－1       C．y=1              D．y=－1 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取10%的工人进行调查，首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是　　． 参考答案： 617 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据系统抽样的定义，求出组距和组数即可得到结论 【解答】解：第一步：将624名职工用随机方式进行编号， 第二步：从总体中剔除4人（剔除方法可用随机数法），将剩下的620名职工重新编号，分别为000，001，002，…，619，并分成62段， 第三步：在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码007， 第四步：将编号为7，7+10，7+20，i 0+20，…，7+610=617的个体抽出，组成样本． 故样本中的最大编号是617， 故答案为：617． 12. 是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于_________. 参考答案： 9 两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得 的最大值为. 13. 如图，在△ABC中，,, ，则         。 参考答案： 14. 在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=　　． 参考答案： 180 【考点】等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值． 【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=450， 得到a5=90， 则a2+a8=2a5=180． 故答案为：180． 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题．学生化简已知条件时注意项数之和等于10的两项结合． 15. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_________. 参考答案： 略 16. 设，则__      ______。 参考答案： 17. 若圆上至少有三个不同点到直线的距离为则直线的斜率的取值区间为             ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 近年来，随着互联网的发展，诸如“滴滴打车”“神州专车”等网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难.为掌握网约车在M省的发展情况，M省某调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数，数据如下表所示：   城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 A指标数x 2 4 5 6 8 B指标数y 3 4 4 4 5   经计算得：，，. （1）试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）建立y关于x的回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值； （3）若城市的网约车A指标数x落在区间之外，则认为该城市网约车数量过多，会对城市交通管理带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理，直至A指标数x回落到区间之内.现已知2018年11月该城市网约车的A指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介入进行治理？试说明理由. 附：相关公式：，，. 参考数据：，. 参考答案： （1），与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系；（2），当时，；（3）要介入进行治理. 【分析】 （1）由已知数据可得，利用公式，求得相关系数，即可作出判断，得到结论； （2）由（1），求得和，求得回归直线的方程，代入，即可求得回归方程； （3）由，而，即可得到结论． 【详解】（1）由已知数据可得，.所以相关系数 . 因为，所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系. （2）由（1）可知，， 所以与之间线性回归方程为. 当时，. （3），而，故2018年11月该城市的网约车已对城市交通带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理. 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用问题，其中解答中，认真审题，正确理解题意，利用公式准确计算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 19. 已知函数，若函数有两个不同的零点x1，x2. （1）求a的范围； （2）是否存在x1，x2，使得，若存在，求x1，x2（写出一组即可），若不存在请提供证明. 参考答案： 20. 如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC． （Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED； （Ⅱ）求向量和所成角的余弦值． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出?=0， ?=0，证明A1C⊥平面DBE． （Ⅱ）根据向量的夹角公式，即可求出余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D﹣xyz． 依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），C1=（0，2，4），D（0，0，0） =（0，2，1），=（2，2，0），=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4）， ∴?=﹣2×2+2×2+0×（﹣4）=0， ?=0+4﹣4=0 ∴A1C⊥BD，A1C⊥DE． 又DB∩DE=D， ∴A1C⊥平面DBE． （Ⅱ）∵=（﹣2，2，﹣4），=（0，2，4）， ∴?=﹣2×0+2×2+（﹣4）×4=﹣12，||==2， ==2 ∴cos＜，＞===． 21. （本小题满分10分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点 的距离为． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）过点的直线与抛物线交于A、B两点，若，求直线的方程． 参考答案： （Ⅰ）设抛物线的方程为（）， 由已知，到准线的距离为，即，所以， 所以抛物线的方程为．    ……… 3分 （Ⅱ）设直线的方程为，，， 由 得， 根据韦达定理，，．        整理得，解得． 所以，直线的方程为或．    ……… 10分 22. 已知圆直线且与圆交于两点，点满足. 当时，求的值; 当时，求的取值范围. 参考答案： 解：当时，点在圆上，可见，当且仅当直线过圆心时满足因为圆心坐标为所以 由消去得 设则 即. 又 即，可得 令 设则 所以函数在上是增函数，所以即 解得 略