内蒙古自治区呼和浩特市华立中学高二数学理模拟试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市华立中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量，满足||=，||=1，且对任意实数x，不等式|+x|≥|+|恒成立，设与的夹角为θ，则tan2θ=（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： D 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用． 【分析】由题意，当（）时，对于任意实数x，不等式|+x|≥|+|恒成立，此时tanθ=，由此能求出tan2θ． 【解答】解：由平面向量加法的几何意义，只有当（）时，对于任意实数x，不等式|+x|≥|+|恒成立，如图所示， 设或， 斜边大于直角边恒成立， 则不等式|+x|≥|+|恒成立， ∵向量，满足||=，||=1， ∴tanθ=﹣2， ∴tan2θ=． 故选：D． 另：将不等式|+x|≥|+|两边平方得到不等式|+x|2≥|+|2，展开整理得得，恒成立， 所以判别式，解得cosθ=，sinθ=，所以tanθ=﹣2，tan2θ=； 故选D． 【点评】本题考查tan2θ的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识和数形结合思想的合理运用． 2. 抛物线x2=4y的焦点坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1） 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2， =1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为 （0，1 ）， 故选 C． 【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2=2p y 的焦点坐标为（0，），属基础题． 3. 设集合P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞a，a∈R}，则“a=1”是“P?M”的(     ) A．必要不充分条件 B．充要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 参考答案： D 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】由a=1，可得P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞1}，P?M；由P?M，则a＜2，可判断 【解答】解：若a=1，P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞1} 此时P?M 若P?M，则a＜2，但是不一定是1 故“a=1”是“P?M”充分不必要条件‘ 故选D 【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，要注意与集合的包含关系的相互转化关系的应用． 4. 在数列中，，则等于（    ） A．          B．            C．           D． 参考答案： B 5. 若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011(x∈R)，则 的值为  (　  　) A．－2               B．－1       C．0          D．2 参考答案： B 略 6. 正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则(　　) 参考答案： B 7. 《九章算术》是我国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数．如图程序框图的算法思路源于“更相减损术”，若输入的a，b，i分别为18,14,0，则输出的a, i算得（   ） A．16 B．32 C．64 D．8 参考答案： C 由题意得，依次运行程序框图所示的程序可得， 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次： 第六次：。故满足，输出。 所以。选C。   8. 是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（    ）     A．             B．           C．           D． 参考答案： D 9. “a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（     ） A.充分而不必要条件                     B.必要而不充分条件 C.充要条件                             D.既不充分也不必要条件 参考答案： C 10. 通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：   男 女 总计 爱好 10 40 50 不爱好 20 30 50 总计 30 70 100   P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 k 2.706 3.841 5.024   其中 则下列结论正确的是（    ） A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为　　． 参考答案： 【考点】CF：几何概型． 【分析】根据几何概型，求出阴影部分的面积，即可得到结论． 【解答】解：将图形平均分成四个部分，则每个图形空白处的面积为2（﹣×1×1）=2（）=﹣1， 阴影部分的面积为π×12﹣4（﹣1）=4﹣π， ∴根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为=， 故答案为：． 12. ___________ 参考答案： ln2-1/2 略 13. 已知函数，若则=           参考答案： 略 14. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则在［1500，3000］（元）月收入段应抽出      人 参考答案： 130 15. 直线l与圆相交于A,B两点，若弦AB的中点，则直线l的方程为_____________ 参考答案： 16. 设S为复数集C的非空子集.若对任意，都 有，则称S为封闭集.下列命题： ①  集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集； ②  若S为封闭集，则一定有； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.   其中真命题是                  （写出所有真命题的序号） 参考答案： ①② 略 17. 甲、乙两队各有n个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次 （同队的队员之间不握手），从这n2次的握手中任意取两次．记事件A：两次握手中恰有3个队员参与．若事件A发生的概率P＜，则n的最小值是_____________． 参考答案： 20 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分15分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 参考答案： 解：(1)由题意得                      解得b＝. 所以椭圆C的方程为＋＝1.                        ……7分 (2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|MN|＝   ＝   ＝. 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝， 所以△AMN的面积为 S＝|MN|·d＝. 由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.         ……15分 19. 在平面直角坐标系中，已知曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线. （1）将曲线上所 有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程； （2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值. 参考答案： 略 20. （本小题满分12分）求经过点A(0, 4) 且与抛物线y 2 = 16 x只有一个交点的直线方程。 参考答案： 21. 求函数f (x) =︱sinx + cosx +tanx + cotx + secx + cscx︱ 的最小值 . 其中  secx=, cscx= . 参考答案： 解析：设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x = ( u2 － 1 ) . sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u +   ,      ( 5 分 ) 当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 + u －1 +   1 + 2 .                         ( 5 分 ) 当 u < 1 时 , f ( x ) = －1 + 1－u +  2－1 ( u = 1－时等号成立 ) . ( 5 分)  因此, f ( x ) 的最小值是 2－1 .                                          ( 5 分 ) 22. 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是             ． 参考答案： 略