云南省大理市祥云县第四中学高二数学理下学期期末试卷含解析

云南省大理市祥云县第四中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若两直线的倾斜角分别为，则下列四个命题中正确的是（    ） A. 若，则两直线的斜率： B. 若，则两直线的斜率： C. 若两直线的斜率：，则 D. 若两直线的斜率：，则 参考答案： D 【分析】 由题意逐一分析所给的选项是否正确即可. 【详解】当，，满足，但是两直线的斜率，选项A说法错误； 当时，直线的斜率不存在，无法满足，选项B说法错误； 若直线的斜率，，满足，但是，，不满足，选项C说法错误； 若两直线的斜率，结合正切函数的单调性可知，选项D说法正确. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，正切函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2. 已知定义在R上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为 (     ) A． B． C． D． 参考答案： D 3. 已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：. 圆C上任意一点A到直线l的距离小于5的概率为 A.   B.   C.    D. 参考答案： A 设|F1F2|＝2c(c>0)，由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，得 |PF1|＝c，|PF2|＝c，且|PF1|>|PF2|， 若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝4c，离心率e＝＝； 若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a＝|PF1|－|PF2|＝c，离心率e＝＝，故选A. 4. 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】等可能事件的概率． 【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即 P（A/B）． 先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P（A/B）=，运算求得结果． 【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”， 则所求的概率即 P（A/B）． 又P（AB）=P（A）=，P（B）=，由公式P（A/B）== ==， 故选A． 5. 复数的虚部是（    ） A.        B.       C.        D.                   参考答案： D 略 6. 设则（  ） A.             B.            C.            D. 1 参考答案： A 7. 设双曲线的左、右两焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点P到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线离心率是（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由点P到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，根据直角三角形的性质，可得，得到，即即，再根据离心率的定义，即可求解。 【详解】由题意，不妨设点在双曲线的右支上，则， 因为，所以， 因为点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知， 根据直角三角形的性质，可得，所以， 即，得．所以双曲线的离心率， 故选：A． 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 8. 已知正方体中，点是侧面的中心，若，则等于(　　) A．0        B．1       C.        D．－ 参考答案： A 略 9. 在60°的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是（    ）． A． B． 2 C． 3 D． 4 参考答案： D 如图，，， ∴． 故选． 10. 如果圆不全为零）与y轴相切于原点，那么             w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                    参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在内部作一条射线，与线段交与点，则的概率是            . 参考答案： 12. 设，则与的大小关系是_____________.  参考答案： A<1  略 13. 将数列按“第组有个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第10组中的第一个数是_____________. 参考答案： 略 14. 函数在处的切线的斜率为______________. 参考答案： e 略 15. 已知点P是圆上的一点，直线。若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有__________个 参考答案： 2 16. 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的体积为             . 参考答案： 17. 曲线在点处的切线的倾斜角为 A．120°             B．30°              C．60°                      D．45°  参考答案： D 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列中，，且满足递推关系    （1）当时，求数列的通项    （2）当时，数列满足不等式恒成立，求m的取值范围；    （3）在时，证明 参考答案： 解：解：（1）m=1，由，得： 是以2为首项，公比也是2的等比例数列。 于是    （2）由 依题意，有恒成立。 ，即满足题意的m的取值范围是    （3）时，由（2）知 设数列 故 即在成立 略 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，点E为侧棱PB的中点． 求证：（1）PD∥平面ACE； （2）平面PAC⊥平面PBD． 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析。 【分析】 （1）连接OE．易证PD∥OE，根据线面平行判定定理得证； （2）要证平面PAC⊥平面PBD，即证BD⊥平面PAC 【详解】(1) 连接OE．   因为O为正方形ABCD的对角线的交点，   所以O为BD中点．   因为E为PB的中点，所以PD∥OE．   又因OE?面ACE，PD平面ACE，   所以PD∥平面ACE．   (2) 在四棱锥P－ABCD中，   因为PC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，   所以BD⊥PC．   因为O为正方形ABCD的对角线的交点，   所以BD⊥AC．   又PC、AC?平面PAC，PC∩AC＝C，   所以BD⊥平面PAC．   因为BD?平面PBD，   所以平面PAC⊥平面PBD． 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 20. 已知x、y满足约束条件. （1）作出不等式组表示的平面区域；（用阴影表示） （2）求目标函数的最小值. 参考答案： （1）见解析；（2）. 【分析】 （1）先画四条直线，再利用一元二次不等式表示平面区域的规律，确定可行域，画成阴影即可； （2）将目标函数的最小值看成直线在轴上截距的最大值，从可行域中找到最优解，进而求得目标函数的最小值. 【详解】（1）可行域如图所示： （2）易得点， 当直线过点时，直线在轴上截距达到最大，此时，取得最小值， 所以. 【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合思想的运用，求解时注意利用直线在轴上截距的最大值求得目标函数的最小值，考查基本运算求解能力. 21. 已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，－sinx），且x∈[0,]。 （1）求·及|+|； （2）当λ∈（0,1）时，若f（x）=·－2λ|+|的最小值为，求实数λ的值。 参考答案： （1）；（2） 试题解析:（1）， ∵， ∴ . ∵，∴，因此. （2）由（1）知，∴， ∵，当时，有最小值，解得. 综上可得： 【点睛】 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法 （1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； （2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 本题属于题型（2）。 22. （本小题满分14分） 如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证： （1）PB∥平面AEC； （2）平面PCD⊥平面PAD． 参考答案： （1）证明：连结交于点，连结． 四边形ABCD为正方形，为 交点 为中点，………………………………………2分 又为中点， ，………………………………………4分 又平面，平面， 平面．………………………………7分 （2）证明：因为平面，平面，所以．………9分  因为在正方形中且，AD、PA在平面内 所以平面． ……………………………………………………………12分 又因为平面，所以平面平面．………………………14分