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上海市龙茗中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对于实数a，b，c. 下列命题成立的是（ ）
A．若，且c>b，则a>c B．若a>b且c>b则ac>b2
C．若a>－b，则c－ab则ac>bc
参考答案：
C
2. 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）
A. 360 B. 180 C. 90 D. 45
参考答案：
B
二项式系数为，只有第六项最大，即最大，则n＝10，所以Tr＋1＝()10－rr＝，由5－r＝0得r＝2，故常数项为T3＝22＝180.
3. 过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，则的最小值为 （ ）
A B C D 无法确定
参考答案：
C
略
4. 对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则
C．若a＜b＜0，则 D．若a＞b，，则a＞0，b＜0
参考答案：
D
【考点】不等式的基本性质．
【分析】选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．
【解答】解：对于A，当c=0时，有ac2=bc2 故错．
对于B，取a=，b=，则2＜3，故错；
对于C 若a＜b＜0，取a=﹣2，b=﹣1，可知＜，故错；
A，B，C都错，故选：D．
5. 已知复数，其中为0，1，2，…，9这10个数字中的两个不同的数，则不同的虚数的个数为（ ）
A.36 B.72 C.81 D.90
参考答案：
C
6. 关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是( )
A若a∥M，b∥M，则a∥b B若a∥M，b⊥a，则b⊥M
C若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M D若a⊥M，M∥N，则a⊥N
参考答案：
D
7. ．用反证法证明：“至少有一个为0”，应假设
A．没有一个为0 B．只有一个为0
C．至多有一个为0 D．两个都为0
参考答案：
A
略
8. 在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=BA=BC，则直线PB与平面PAC所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
参考答案：
B
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】由题意画出图形，取AC中点O，连接PO，BO，可得BO⊥AC，再由面面垂直的性质可得BO⊥平面PAC，知∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角，求解直角三角形得答案．
【解答】解：如图，
设PA=PC=BA=BC=a，取AC中点O，连接PO，BO，
则BO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BO⊥平面PAC，则∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角，
∵PA=PC=BA=BC，AC=AC，
∴△PAC≌△BAC，则PO=OB，
∴∠BPO=45°，
故选：B．
【点评】本题考查直线与平面所称的角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
9. 已知抛物线C：与点，过C的焦点且斜率为的直线与C交于两点．若，则( )
A. B. C. D．
参考答案：
D
略
10. 已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）
参考答案：
B
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】分别判定命题p，q的真假性，利用复合命题站真假之间的关系即可得到结论．
【解答】解：函数f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|，
∵cos2x的周期是π，
∴函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为，即命题p是假命题．
若函数f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，∴命题q为真命题，
则p∨q为真命题，其余为假命题，
故选：B
【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系，利用条件先判定命题p，q的真假是解决本题的关键．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
参考答案：
解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。
12. 命题p：“?x0∈R，x02﹣1≤0”的否定￢p为
参考答案：
命题p：“?x0∈R，x02﹣1≤0”的否定￢p为:,故填.
13. 过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|= ．
参考答案：
8
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+，求得答案．
【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，
则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程y2=4x得
x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x1+x2=6
根据抛物线的定义可知|AB|=x1++x2+
=x1+x2+p=6+2=8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．
14. 4人站成一排，其中甲乙相邻则共有 种不同的排法．
参考答案：
12
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】相邻问题运用捆绑法，甲乙捆绑，再与其它2人，全排即可．
【解答】解：相邻问题运用捆绑法，甲乙捆绑，再与其它2人，全排，
故甲、乙二人相邻的不同排法共A22?A33=12种．
故答案为：12．
15. 已知不等式解集为，则不等式的解
集为____ .
参考答案：
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作斜率为的直线与曲线C交于点P，
若，则双曲线C的离心率为 ▲ ．
参考答案：
取双曲线的渐近线为，
，
∴过F2作斜率为的PF2的方程为，
因为
所以直线PF1的方程，
联立方程组，可得点P的坐标为，
∵点P在双曲线上，，
即，
，
整理得，，故答案为.
17. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠AMN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=1000m，则山高MN= m．
参考答案：
750
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】应用题；解三角形．
【分析】△ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；△AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM?sin∠MAN，计算求得结果．
【解答】解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=1000，
∴AC==1000．
△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，
∴∠AMC=45°，由正弦定理可得，解得AM=500．
Rt△AMN中，MN=AM?sin∠MAN=500×sin60°=750（m），
故答案为：750．
【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设过点P（6，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）确定抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，利用以AB为直径的圆过点F，可得FA⊥FB，即=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），到抛物线顶点的距离的平方为，
∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，
∴=（+）2，
∴p=2
抛物线的方程为：y2=4x．…
（Ⅱ）由题意可知，直线l不垂直于y轴
可设直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，
∵以AB为直径的圆过点F，∴FA⊥FB，即=0
可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0
∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0
∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，
解得：m=±，
∴直线l：x=±y+6，即l：2x±y﹣12=0．…
【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19. （12分）（2015秋?洛阳期中）已知数列{an}的前n项和Sn=（）n﹣1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当bn=log（3an+1）时，求数列{}的前n项和Tn．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由Sn=（）n﹣1．当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出．
（2）bn=log（3an+1）=n，可得==．利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）∵Sn=（）n﹣1．当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）n﹣1﹣=．
∴an=．
（2）bn=log（3an+1）=n，
∴==．
∴数列{}的前n项和Tn=+…+=1﹣=．
【点评】本题考查了递推关系应用、数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. 如图，△ABC中，，D，E分别是AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起成△PDE，使面PDE ⊥面BCDE，H，F分别是PD和BE的中点，平面BCH与PE，PF分别交于点I，G.
（1）求证：IH∥BC；
（2）求二面角P-GI-C的正弦值.
参考答案：
(1)证明：∵分别是的中点，∴，而平面，平面，
∴平面
又平面平面，故.
（2）如图，建立空间直角坐标系，由题意得：
，，，，，
∴，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，
∴
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则，∴.
∴二面角的正弦值为.
21. 已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点
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