2022年辽宁省铁岭市奔腾计算机职业高级中学高二数学理月考试题含解析

2022年辽宁省铁岭市奔腾计算机职业高级中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 当时，复数表示的点在（  ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 参考答案： D 试题分析：因为，所以所以该复数对应的点位于第四象限. 考点：本小题主要考查复数与复平面上的点的对应关系. 点评：复数与复平面上的点是一一对应的，其中需要注意的是0在实轴上，而不在虚轴上. 2. 已知集合M={﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}，则M∩N=（　　） A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1} D．{﹣3，3} 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】求出集合N的等价条件，结合交集的定义进行求解即可． 【解答】解：N={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}， ∵M={﹣3，﹣2，﹣1}， ∴M∩N={﹣1}， 故选：A 3. 当时，不等式成立，则此不等式的解集为 (　　) A．                 B． C． D． 参考答案： B 略 4. 下列各点不在曲线上的是（　　） Ａ．             Ｂ．           Ｃ． Ｄ． 参考答案： D 5. 已知点M（a，b，c）是空间直角坐标系O﹣xyz中的一点，则与点M关于z轴对称的点的坐标是（　　） A．（a，﹣b，﹣c） B．（﹣a，b，﹣c） C．（﹣a，﹣b，c） D．（﹣a，﹣b，﹣c） 参考答案： C 【考点】空间中的点的坐标． 【专题】计算题；规律型；对应思想；数学模型法；空间向量及应用． 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为只须将横坐标、纵坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标． 【解答】解：∵在空间直角坐标系中， 点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z）， ∴点M（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为： （﹣a，﹣b，c）． 故选：C． 【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题． 6. 甲、乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为和, 甲、乙两人各射击一次,有下列说法: ① 目标恰好被命中一次的概率为 ；② 目标恰好被命中两次的概率为； ③ 目标被命中的概率为；  ④ 目标被命中的概率为 。 以上说法正确的序号依次是                                                 A.②③ 　　         B.①②③           C.②④          D.①③ 参考答案： C 7. 在△ABC中，∠A=60°,a=,b=4,满足条件的△ABC                       (      ) A.无解      B.有解     C.有两解 D.不能确定 参考答案： A 8. 定义域为的函数满足当时，，若时， 恒成立，则实数的取值范围是（    ） A.    B.     C.     D. 参考答案： C 9. 已知向量，向量，若，则为（   ） A．（-2，2） B．（-6，3）           C．（2，-1） D．（6，-3） 参考答案： B 10. 平面内有两个定点和一动点，设命题甲，是定值，命题乙：点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的  （  ）     充分但不必要条件                必要不充分条件     充要条件                        既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知实数条件，则的最大值是______ 参考答案： 3 12. “m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的_________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 参考答案： 充分不必要条件 13. 若曲线在点处的切线方程是，则_____ , ______.   参考答案： 略 14. 如下图所示，这是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是_______ 参考答案： 略 15. 二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项为﹣160，则a=　     　． 参考答案： 1 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】由题意可得：2n=64，解得n=6．再利用二项式定理的通项公式即可得出． 【解答】解：由题意可得：2n=64，解得n=6． ∴Tr+1=26﹣r（﹣a）rC6rx3﹣r， 令3﹣r=0，解得r=3． ∴23（﹣a）3C63=﹣160， 化为：（﹣a）3=﹣1， 解得a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16. 下列命题中 ①已知点，动点满足，则点P的轨迹是一个圆； ②已知，则动点P的轨迹是双曲线右边一支； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1； ④在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线； ⑤设定点，动点P满足条件，则点P的轨迹是椭圆. 正确的命题是__________． 参考答案： ①②③ ①中，根据，化简得：，所以点P的轨迹是个圆；②因为,所以根据双曲线的的定义，P点的轨迹是双曲线右支，正确；③根据相关性定义，正确；④因为点在直线上，不符合抛物线定义，错误；⑤因为，且当时取等号，不符合椭圆的定义，错误.综上正确的是①②③. 17. 在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且，，则该三棱椎外接球的表面积为__________． 参考答案： 12π 由于PA＝PB，CA＝CB，PA⊥AC，则PB⊥CB，因此取PC中点O，则有OP＝OC＝OA＝OB，即O三棱锥P－ABC外接球球心，又由PA＝PB＝2，得AC＝AB＝，所以PC＝，所以． 点睛：多面体外接球，关键是确定球心位置，通常借助外接的性质—球心到各顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构成直角三角形，利用勾股定理求出半径，如果图形中有直角三角形，则学借助于直角三角形的外心是斜边的中点来确定球心． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在数列中，，，． （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立． 参考答案： 解（Ⅰ）证明：由题设，得 ，． 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为 ． 所以数列的前项和． （Ⅲ）证明：对任意的， ．ks5u 所以不等式，对任意皆成立． 19. 已知顶点为原点O的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,与在第一和第四象限的交点分别为A、B． (1)若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程； (2)若，求椭圆的离心率； 参考答案： 1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为 ∵△是边长为的正三角形，∴点A的坐标是，                                    代入抛物线的方程解得，故所求抛物线的方程为                                 （2）∵, ∴ 点的横坐标是代入椭圆方程解得，即点的坐标是            ∵ 点在抛物线上，∴，                                    将代入上式整理得：， 即，解得                             ∵ ，故所求椭圆的离心率。   略 20. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C． 参考答案： 【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C 【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C） ∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1 ∴sinAsinC=① 由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC② ①②联立可得， ∵0＜C＜π ∴sinC= a=2c即a＞c 21. 已知函数f（x）=x2﹣2ax﹣1+a，a∈R． （Ⅰ）若a=2，试求函数y=（x＞0）的最小值； （Ⅱ）对于任意的x∈，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）由y===x﹣4．利用基本不等式即可求得函数的最小值； （Ⅱ）由题意可得不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”．不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可． 【解答】解：（Ⅰ）依题意得y===x﹣4． 因为x＞0，所以x，当且仅当x=时，即x=1时，等号成立． 所以y≥﹣2． 所以当x=1时，y=的最小值为﹣2．… （Ⅱ）因为f（x）﹣a=x2﹣2ax﹣1，所以要使得“?x∈， 不等式f（x）≤a成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0在恒成立”． 不妨设g（x）=x2﹣2ax﹣1，则只要g（x）≤0在恒成立． 因为g（x）=x2﹣2ax﹣1=（x﹣a）2﹣1﹣a2， 所以即，解得a≥． 所以a的取值范围是 22. 已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案； （Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论． 【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2， 解得：x＞﹣1， ∴﹣1＜x＜， 当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2， 此时不等式恒成立， ∴≤x≤， 当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2， 解得：x＜1， ∴＜x＜1， 综上可得：M=（﹣1，1）； 证明：（Ⅱ）当a，b∈M时， （a2﹣1）（b2﹣1）＞0， 即a2b2+1＞a2+b2， 即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab， 即（ab+1）2＞（a+b）2， 即|a+b|＜|1+ab|．