山东省济南市平安中学2022-2023学年高一数学理模拟试题含解析

山东省济南市平安中学2022-2023学年高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 当时，                                （      ） A.    B.    C.     D. 参考答案： C 略 2. 若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与直线2x+3y+1=0垂直，则实数a的值为（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： A 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】利用两条直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出． 【解答】解：直线直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），斜率为=﹣， 直线2x+3y+1=0的斜率﹣． ∵直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与直线2x+3y+1=0垂直， ∴，解得a=﹣． 故选A． 【点评】本题考查了两条直线相互垂直与斜率之间的关系，属于基础题． 3. 若，则下列正确的是（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除。 【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立； B选项不正确，若时就不成立； C选项不正确，同B，时就不成立； D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D． 【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质。 4. 若是两两不共线的平面向量，则下列结论错误的是              (    ) A．　　         　  B．　　 C．　　    D． 参考答案： D 5. 设集合，若A∩B≠，则a的取值范围是（　） A．   　   B．   　   C．      D． 参考答案： C 6. 设、是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是  （   ） A．若，，则     B．若，，则   C．若，，则     D．若，，则 参考答案： B 7. 我国2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率p，到2020年底我国人口总数是(     ) A．M（1+P）3 B．M（1+P）9 C．M（1+P）10 D．M（1+P）11 参考答案： C 【考点】有理数指数幂的化简求值． 【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】到2011年底我国人口总数=M（1+p），到2012年底我国人口总数=M（1+p）2，…，j即可得出． 【解答】解：到2011年底我国人口总数=M（1+p）， 到2012年底我国人口总数=M（1+p）2，…， 可得：到2020年底我国人口总数=M（1+p）10， 故选：C． 【点评】本题考查了指数的运算性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8. 下列说法中正确的是（　　） A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．第一象限角必是锐角 C．不相等的角终边一定不相同 D．若β=α+k?360°（k∈Z），则α和β终边相同 参考答案： D 【考点】象限角、轴线角；终边相同的角． 【分析】分别由象限角、锐角、终边相同角的概念注意核对四个选项得答案． 【解答】解：∵三角形的内角可以是90°，90°不是第一、二象限角，∴A错误； 390°是第一象限角，不是锐角，∴B错误； 30°≠390°，但终边相同，∴C错误； 由终边相同的角的集合可知D正确． 故选：D． 　 9. 已知y=loga（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞） 参考答案： B 【考点】对数函数的单调区间． 【分析】本题必须保证：①使loga（2﹣ax）有意义，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使loga（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logau，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=loga（2﹣ax）定义域的子集． 【解答】解：∵f（x）=loga（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数， ∴f（0）＞f（1）， 即loga2＞loga（2﹣a）． ∴， ∴1＜a＜2． 故答案为：B． 10. 从集合中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为 （     ）  A、3            B、4           C、6           D、8 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知球的表面积为4π，则该球的体积为________． 参考答案： 【分析】 先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解. 【详解】设球半径为，则，解得，所以 【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.   12. 已知(x，y)的映射f作用下的象是(x＋y，xy)．若在f作用下的象是(2，－3)，则它的原象为________ 参考答案： (-1,3)(3，-1) 略 13. 定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是　　． 参考答案： {x|x＜﹣1或0＜x＜1} 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】先根据其为奇函数，得到在（﹣∞，0）上的单调性；再借助于f（﹣1）=﹣f（1）=0，即可得到结论． 【解答】解：∵定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数， ∴在（﹣∞，0）上也是增函数； 又∵f（﹣1）=﹣f（1）=0． ∴f（x）＜0的解集为：{x|x＜﹣1或0＜x＜1}． 故答案为：{x|x＜﹣1或0＜x＜1}． 14. 如图，给出幂函数在第一象限内的图象，取四个值，则相应于曲线的依次为_ ． 参考答案： 15. 某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如表（结果保留两位有效数字）： （1）填写表中的男婴出生频率； （2）这一地区男婴出生的概率约是__________. 参考答案： （1）0.49    0.54    0.50    0.50    （2）0.50 解析：频率可以利用频率来求近似概率. （1）中各频率为0.49，0.54，0.50，0.50. （2）由（1）得概率约为0.50. 误区警示： 概率不是频率的平均值 在求概率时，应该根据“随试验次数的增多，频率会逐渐稳定在某一常数，这一常数称为事件发生的概率”来求解，不能够把若干次试验所得的频率求平均值作为概率.   16. 已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为________________. 参考答案： 17. 不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点　    　． 参考答案： （﹣2，1） 【考点】IP：恒过定点的直线． 【分析】由直线系的知识化方程为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，解方程组可得答案． 【解答】解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0可化为（x+2y）a+3x﹣y+7=0， 由交点直线系可知上述直线过直线x+2y=0和3x﹣y+7=0的交点， 解方程组可得 ∴不论a为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒过定点（﹣2，1） 故答案为：（﹣2，1） 【点评】本题考查直线过定点，涉及方程组的解法，属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）22．（本小题满分9分）函数. (1)若,求函数的零点; (2)若函数在有两个不同的零点,求的取值范围, 并证明:. 参考答案： 解：（1）当时，， 当时，， 所以函数的零点为.…………………………………………………3分 （2） ①     两零点都在(1,2)上时，显然不符（<-1<0）, …………………………4分 ②     两零点在各一个： 当时， 当时，， 综上， ……………………………………………………………………6分 下面证明： ， 不妨设，则 设， ……………………………………7分 易证明是减函数   ……………………………………………………8分 因此， ……………………………………………………9 略 19. 己知点P在抛物线上运动，Q点的坐标是（-1，2），O是坐标原点，四边形OPQR是平行四边形(O、P、Q、R顺序按逆时针)，求R点的轨迹方程。 参考答案： 略 20. （13分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，CC′⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=CC′=a，E是A′C′的中点，F是AB的中点． （1）求证：BC⊥平面ACC′A′； （2）求证：EF∥平面BCC′B′； （3）设二面角C′﹣AB﹣C的平面角为θ，求tanθ的值． 参考答案： 考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）根据线面垂直的判定定理证明AC⊥BC，即可证明BC⊥平面ACC′A′； （2）根据线面平行的判定定理证明EF∥BG即可证明EF∥平面BCC′B′； （3）根据二面角的定义先求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求tanθ的值． 解答： （1）证明：∵CC′⊥底面ABC， ∴CC′⊥BC ∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC， 又AC∩CC′=C， ∴BC⊥平面ACC′A． （2）证明：取B′C′的中点G，连接EG、BG， 又E是A′C′的中点， 则EG∥A′B′且等于A′B′的一半． ABCEFG ∵F是AB中点， ∴BF∥A′B′且等于A′B′的一半， ∴EG与BF平行且相等． ∴四边形EGBF是平行四边形，∴EF∥BG， 又EF?平面BCC′B′，BG?平面BCC′B′， ∴EF∥平面BCC′B′ （3）连接FC、FC′． ∵AC=BC，F是AB中点， ∴CF⊥AB， 又∵CC′⊥底面ABC， ∴CC′⊥AB， ∴AB⊥平面CFC′， ∴C′F⊥AB， ∴∠C′FC为二面角C′﹣AB﹣C的平面角， 即θ=∠C′FC， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，F是AB中点， ∴CF=， 又△C′FC是直角三角形，且∠C′CF=90°，CC′=a， ∴tanθ=tan∠C′FC=． 点评： 本题主要考查线面平行和垂直的判定，以及二面角的求解，要求熟练掌握相应的判定定理以及，利用向量法求解二面角的大小． 21. 求下列函数的定义域。（10分） （1）             （2） 参考答案： （1）解：要使原式有意义，则需 即，所以函数的定义域为 （2）解：要使原式有意义，则需，即 也就是，所以函数的定义域为 22. 要将两种厚度、材质相同，大小不同的钢板截成、、三种规格的成品．每张钢板可同时截得三种规格的块数如下表：              成品规格类型 钢板类型   A规格   B规格   C规格 第一种钢板 1 2 1 第二种钢板 1 1 3       每张钢板的面积：第一张为，第二张为．今需要、、三种规格的成品各为12、15、27块．则两种钢板各截多少张，可得所需三种规格的成品，且使所用钢板的面积最少？ 参考答案： 解：设需第一种张，第二种张，所用钢板面积，则，（4分）目标函数，（6分）作图