2022-2023学年湖南省怀化市学院高一数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省怀化市学院高一数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等差数列{an}的公差d＞0，则下列四个命题： ①数列{an}是递增数列； ②数列{nan}是递增数列； ③数列是递增数列； ④数列是递增数列； 其中正确命题的个数为（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论． 【详解】设等差数列，d＞0 ∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题． 对于②，数列，得， ，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题． 对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题． 对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题． 故选：B． 2. 若角α与角β的终边关于y轴对称，则（　　） A．α+β=π+kπ（k∈Z） B．α+β=π+2kπ（k∈Z） C． D． 参考答案： B 【考点】终边相同的角． 【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】根据角α与角β的终边关于y轴对称，即可确定α与β的关系． 【解答】解：∵π﹣α是与α关于y轴对称的一个角， ∴β与π﹣α的终边相同， 即β=2kπ+（π﹣α） ∴α+β=α+2kπ+（π﹣α）=（2k+1）π， 故答案为：α+β=（2k+1）π或α=﹣β+（2k+1）π，k∈z， 故选：B． 【点评】本题主要考查角的对称之间的关系，根据终边相同的关系是解决本题的关键，比较基础． 3. 若方程的根在区间上，则的值为（    ） A．       B．1       C．或2        D． 或1 参考答案： A 略 4. 设f（x）=，则f（5）的值是（　　） A．24 B．21 C．18 D．16 参考答案： A 【考点】函数的值．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】由已知条件利用函数的性质得f（5）=f（f（10））=f（f（f（15））），由分段函数即可得到． 【解答】解：f（x）=， f（5）=f（f（10））=f（f（f（（15）））=f（f（18））=f（21）=21+3=24． 故选：A． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，注意函数性质的合理运用． 5.                                             (    )       A．          B．           C．          D． 参考答案： A 略 6. 设函数的定义域为，值域为，给出以下四个结论： ①的最小值为              ②的最大值为 ③可能等于       ④可能等于 其中正确的有（  ）    A.4个        B. 3个           C.2个                D. 1个 参考答案： B 7. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的子集的个数为（　　） A．4 B．7 C．8 D．16 参考答案： C 【考点】子集与真子集． 【分析】先求出B={（1，1），（1，2），（2，1）}，由此能求出B的子集个数． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}， ∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}， ∴B的子集个数为：23=8个． 故选：C． 8. 已知是平面上的两个不共线向量，向量，．若，则实数 A．6    　　     B．  　　　　    C．3       　　     D． 参考答案： B 略 9. 同时抛两枚硬币，则一枚朝上一枚朝下的事件发生的概率是（   ）   A.1／2     B. 1／3     C.1／4     D.2／3   参考答案： A 略 10. 已知，函数与图像关于y=x对称，若 f (-2)·g(2) < 0，那么与在同一坐标系内的图像可能是(    )        A．               B．              C．                D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则用表示为 ． 参考答案： 因为，所以，所以。 12. 已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与 所成角的余弦值为___________。 参考答案： 略 13. 若函数是奇函数，则实数的值为          . 参考答案： 14. 函数的单调递增区间是        ． 参考答案： （2，+∞） 【考点】复合函数的单调性． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先根据真数大于0求出函数的定义域，根据对数函数和二次函数的单调性分析出内函数t=x2+4x﹣12和外函数y=log2t的单调性，最后根据“同增异减”的原则求出复合函数的单调性． 【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞） 令t=x2+4x﹣12，则y=log2t ∵y=log2t在定义域上为增函数， t=x2+4x﹣12在（﹣∞，﹣6）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数， 故函数的单调增区间是（2，+∞） 故答案为：（2，+∞） 【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性及复合函数单调性“同增异减”的原则是解答的关键． 15. 函数的最小正周期为       . 参考答案： 略 16. =_______；   参考答案： 略 17. 已知，动点M满足，且，则在方向上的投影的取值范围是          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数满足，且    （1）当时，求的表达式；    （2）设，，求证：；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  （3）设，对每一个，在与之间插入个，得到新数列，设是数列的前项和，试问是否存在正整数，使？若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 参考答案： 解析：（1）令得，，………………2分    ，公比为q=的等比数列，得………………4分    （2）证明：， 由错位相减法得………………8分 （3）                          …………………9分 ∴在数列中，及其前面所有项之和为      …11分 ，即 12分 又在数列中的项数为：    …… ……  13分 且， 所以存在正整数使得      ……………………14分 19. 已知函数f（x）=k﹣（其中k为常数）； （1）求：函数的定义域； （2）证明：函数在区间（0，+∞）上为增函数； （3）若函数为奇函数，求k的值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）根据使函数解析式有意义的原则，可得函数的定义域； （2）证法一：任取x1，x2∈R，且0＜x1＜x2，作差判断出f（x1）﹣f（x2）＜0，结合单调性的定义，可得：函数f（x）在R是增函数； 证法二：求导，根据当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，可得：函数f（x）在R是增函数． （3）要使函数是奇函数，需要使f（﹣x）+f（x）=0，解得k值． 【解答】解：（1）要使函数f（x）=k﹣有意义，显然，只需x≠0 ∴该函数的定义域是{x∈R|x≠0}… 证明：（2） 证法一：在区间（0，+∞）上任取x1，x2且令0＜x1＜x2， 则：f（x1）﹣f（x2）=（）（）= … ∵0＜x1＜x2， ∴x1?x2＞0，x1﹣x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0， 则函数f（x）在这个区间（0，+∞）上是增函数… 证法二：∵f（x）=k﹣， ∴f′（x）=， 当x∈（0，+∞）时， f′（x）＞0恒成立， 所以函数f（x）在这个区间（0，+∞）上是增函数… （3）由（1）知，函数的定义域关于原点对称． 要使函数是奇函数，需要使f（﹣x）+f（x）=0… 则，得：2k=0，即k=0 ∴当k=0时，函数是奇函数．… 20. 已知命题，，，.试判断“p为真命题”与“为真命题”的充分必要关系. 参考答案： “p为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件. 【分析】 由恒成立问题求得“p为真命题”与“为真命题”对应的参数范围，结合集合之间的关系，判断充分性和必要性. 【详解】若p为真命题，则，  令，在单调递减， 所以，∴，. ，， 若为真命题，则 由.，可得， 所以 因为， 所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及由恒成立问题求参数的范围，属综合中档题. 21. （本题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）求袋中原有白球的个数； （2）求取球两次终止的概率 （3）求甲取到白球的概率 参考答案： 解：（1）设袋中原有个白球，由题意知：，……………2分 解得（舍去），即袋中原有3个白球  …………4分 （2）记“取球两次终止”为事件 …………………………8分 3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次或第3次或第5次取到白球 记“甲取到白球”为事件  …………………12分 略 22. （本题满分10分） 设，求的值。 参考答案： 解：原式=---------------------------4分     因为 所以当时，原式==---------------6分 当时，原式=--------8分 所以原式----------------------------------------------------10分