2022-2023学年广西壮族自治区柳州市铁第一中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区柳州市铁第一中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数（其中）的图象如下面左图所示，则函数的图象是（  ） 参考答案： A 略 2. 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′，是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（　　） A． a 2 B． a 2 C． a 2 D． a 2 参考答案： C 【考点】LB：平面图形的直观图． 【分析】根据斜二测画法原理作出△ABC的平面图，求出三角形的高即可得出三角形的面积． 【解答】解：如图（1）所示的三角形A′B′C′为直观图， 取B′C′所在的直线为x′轴，B′C′的中点为O′，且过O′与x′轴成45°的直线为y′轴， 过A′点作M′A′∥O′y′，交x′轴于点M′，则在直角三角形A′M′O′中，O′A′=a，∠A′M′O′=45°， ∴M′O′=O′A′=a，∴A′M′=a． 在xOy坐标平面内，在x轴上取点B和C，使OB=OC=， 又取OM=a，过点M作x轴的垂线，且在该直线上截取MA=a，连结AB，AC， 则△ABC为直观图所对应的平面图形． 显然，S △ABC=BC?MA=a?a=a 2． 故选：C． 【点评】本题考查了平面图形的直观图，斜二测画法原理，属于中档题． 3. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（　　） 　 A． m B． m C． m D． m 参考答案： A 考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题；应用题． 分析： 依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB 解答： 解：由正弦定理得， ∴， 故A，B两点的距离为50m， 故选A 点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生对基础知识的综合应用． 4. 将函数的图象向右平移2个单位，再向下移2个单位，得到函数的图象，函数与的图象关于轴对称，则的表达式为（  ） A．     B．   C．     D. 参考答案： B 5. 已知 A.                   B.   C.                   D. 参考答案： A 6. 在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=(       ) ． A．30°或150°   B．60°或120°    C．60°    D．30° 参考答案： D 略 7. 已知平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（　　） A．2         B.        C.        D. 参考答案： B 8. 是空间两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 ① ② ③ ④    A. ①②    B. ①④     C. ②④    D. ③④ 参考答案： B 9. 已知集合，则=（     ） A．      　B．       　C．      D． 参考答案： D 10. 在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若，点E为线段AD的中点，，则λ=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】计算题；数形结合；转化思想；平面向量及应用． 【分析】由=， =，，，代入化简即可得出． 【解答】解： =， =，，， 代入可得： =+ =+， 与，比较， 可得：λ=． 故选：B． 【点评】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知为定义在上的奇函数，当时，； （1）求在上的解析式； （2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明. 参考答案： 解：(1)当时,， 所以， 又    6分  (2)函数在区间上为单调减函数. 证明如下: 设是区间上的任意两个实数，且， 则8分    ， 因为, 所以   即. 所以函数在区间上为单调减函数.    12分 12. 函数f(x) =在x∈[1,4]上单调递减, 则实数的最小值为        . 参考答案： 略 13. 设关于的不等式组表示的平面区域为.若在平面区域内存在点，满足，则实数的取值范围是 __.  参考答案：    14. 已知满足，则=_____ ____。 参考答案： 15. 关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)，有下列命题： ①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－)； ②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称； ④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称． 其中，正确的是                         ．(填上你认为正确命题的序号) 参考答案： ①③ 16. 函数y=ax﹣2+5过定点          ． 参考答案： （2，6） 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据指数函数的性质即可确定 函数过定点． 【解答】解：∵函数f（x）=ax过定点（0，1）， ∴当x﹣2=0时，x=2， ∴此时y=ax﹣2+5=1+5=6， 故y=ax﹣2+5过定点（2，6）． 故答案为：（2，6） 【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，比较基础． 17. 已知函数，若函数g（x）=|f（x）|﹣a有四个不同零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的最小值为　    　． 参考答案： 2016 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】画出函数y=|f（x）|的图象，由题意得出a的取值范围和x1x2，x3+x4的值，再利用二次函数配方法即可求出最小值． 【解答】解：由题意，画出函数y=|f（x）|的图象，如图所示， 又函数g（x）=a﹣|f（x）|有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4， 所以0＜a≤2， 且log2（﹣x1）=﹣log2（﹣x2）=2﹣x3=x4﹣2， 所以x1x2=1，x3+x4=4， 则 =a2﹣2a+2017=（a﹣1）2+2016， 当a=1时，取得最小值2016． 故答案为：2016． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）若直线l经过P（1，﹣3），它与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程． 参考答案： 考点： 直线的斜截式方程；直线的点斜式方程． 专题： 直线与圆． 分析： 由于直线l经过P（1，﹣3），它与两坐标轴围成等腰直角三角形，可设直线方程为或x+y=b，把点P（1，﹣3）代入解出即可． 解答： 解：∵直线l经过P（1，﹣3），它与两坐标轴围成等腰直角三角形， ∴可设直线方程为或x+y=b， 把点P（1，﹣3）代入可得：，1﹣3=b， 解得a=4或b=﹣2． 因此直线l的方程为y=x﹣4或y=﹣x﹣2． 点评： 本题考查了直线的截距式、等腰直角三角形的定义，属于基础题． 19. 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知，. （1）求首项和公比q的值； （2）若，求n的值. 参考答案： （1）；（2） 试题分析：（1）将，都转化为来表示，解方程组求得，（2）由前n项和公式代入得，∴ 试题解析：（1）， 3分 ∴， 4分 解得． 6分 （2）由，得：9分 ∴11分∴． 12分 20. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示． （1）求函数f（x）的表达式； （2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值． 参考答案： 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 常规题型；计算题． 分析： （1）根据函数的图象，求出A、T，求出ω，函数x=﹣时，y=0，结合﹣＜φ＜求出φ，然后求函数f（x）的表达式； （2）利用f（α）+f（α﹣）=，化简出（sinα+cosα）2，2sinαcosα=＞0且α为△ABC的一个内角，确定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值． 解答： （1）从图知，函数的最大值为1，则A=1． 函数f（x）的周期为T=4×（+）=π． 而T=，则ω=2．又x=﹣时，y=0， ∴sin=0． 而﹣＜φ＜，则φ=， ∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）．   （2）由f（α）+f（α﹣）=，得 sin（2α+）+sin（2α﹣）=， 即2sin2αcos=，∴2sinαcosα=． ∴（sinα+cosα）2=1+=． ∵2sinαcosα=＞0，α为△ABC的内角， ∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=． 点评： 本题是基础题，考查函数解析式的求法，根据三角函数式，确定函数的取值范围，是解题的难点，考查学生视图能力，计算能力． 21. （15分）已知是定义域为R 且恒不为零的函数，对于任意的实数x,y 都满足：。（1）求的值；（2）设当x< 0 时，都有  ，判断函数在() 上的单调性，并加以证明. 参考答案： 解析：（1）令，则有，   2分 或，4分 因为是定义域为R 且恒不为零的函数，所以         5分 （2）设，则，7分 又对任意的实数， ，所以    10分 =           14分 所以，在实数域上是减函数。             15分 22. （本小题满分12分）设数列满足，若是等差数列，是等比数列. （1）分别求出数列的通项公式； （2）是否存在，使，若存在，求满足条件的所有值；若不存在，请说明理由. 参考答案： 解：（1）由成等差数列知其公差为1， 故                ………………1分 由等比数列知，其公比为， 故                                      ……2 = +6==   ……4分 ………………………………………………6分 （3）假设存在，使 则 即     ………… ∵与是相邻整数 ∴，这与矛盾，所以满足条件的不存在    ………………12分 略