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全等模型巩固练习(提优)
1. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列五个结论：①AD上任意一点到AB、AC两边的距离相等；②AD上任意一点到B、C两点的距离相等；③AD⊥BC，且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF；⑤AE＝AF．其中，正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】D
【解析】∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴AD⊥BC，BD＝CD，DE＝DF，故③正确；
∴②正确；∴AD是BC的中垂线，∴①正确；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，∠B＝∠C，∴△BED≌△CFD，∴∠BDE＝∠CDF，即④正确；
∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，∠EAD＝∠FAD，∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，故⑤正确．
2. 如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是( )
A．① B．② C．①② D．①②③
【解答】D
【解析】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACF(第一个正确)，
∴AE＝AF，∴BF＝CE，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE(第二个正确)，∴DF＝DE，
连接AD，∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，
∴∠FAD＝∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上(第三个正确).
3. 如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是( )
①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
【解答】B
【解析】∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD＝AD，BE＝AB，
∵AD＝BC，AB＝DC，∴FD＝BC，BE＝DC，
∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC，故①正确；
∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋(180°－∠CDA)＝300°－∠CDA，
∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；
同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，
∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，
∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，
∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；
在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．
4. 如图，在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、P处，请问：
(1)在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？
(2)在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA有变化吗？若无变化是多少度？
【解答】(1)相等，理由见解析；(2)无变化
【解析】(1)在爬行过程中，BD和AP始终相等，
理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，
在△BDC和△APB中，，∴△BDC≌△APB(SAS)，∴BD＝AP．
(2)蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，
理由：∵△BDC≌△APB，
∴∠CBD＝∠BAP，
∴∠DQA＝∠DBA＋∠BAP＝∠DBA＋∠CBD＝∠ABC＝60°，
即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．
5. 已知△ABC中，AB＝AC．
(1)如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；
(2)如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；
(3)如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．
【解答】(1)见解析；(2)；(3)
【解析】(1)证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB(SAS)，∴EC＝BD．
(2)连接BD，如图所示：
∵AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠DEA＝∠CDE＝60°，
∵EF⊥AD，∴∠FEA＝∠DEA＝30°，
∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB(SAS)，
∴∠BDA＝∠AEC＝30°，EC＝BD，∴∠EDB＝90°，
∵AE＝4，AF＝2，AC＝，∠EFA＝∠AFC＝90°，
∴ ，
∴EC＝BD＝，∴．
(3)作CM⊥CA，使得CM＝CA，连接AM，BM，如图所示：
∵CA＝CM，∠ACM＝90°，∴∠CAM＝45°，
∵∠CAB＝45°，∴∠MAB＝45°＋45°＝90°，
设AB＝AC＝m，则AM＝m，，
∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＝∠ACD，
∵CA＝CM，CB＝CD，∴△ACD≌△MCB(SAS)，∴AD＝BM＝，．
6. 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．
(1)如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长；
(2)如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC；
(3)在(2)的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．
【解答】(1)；(2)见解析；(3)
【解析】(1)如图，过点C作CG⊥AB于G，
∵AC＝CD，∴AG＝DG，
设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，
∴BD＝DE＝，∴BG＝BD＋DG＝ ＋a，
在Rt△BGC中，∠BCG＝90°－∠ABC＝30°，∴BC＝2BG，CG＝BG＝6＋ a，
在Rt△DGC中，CD＝AC＝3，根据勾股定理得，CG2＋DG2＝CD2，
∴(6＋ a)2＋a2＝90，∴或(舍)，
∴BC＝EC＋BE＝EC＋BD，∴EC＋BD＝2(BD＋DG)，
∴EC＝BD＋2DG＝；
(2)如图在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，
∵△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，BE＝DE，∴∠DEC＝120°，BE＝PM，
∵AE＝AM，∴∠AEM＝∠AME，∴∠AEB＝∠AMP，
∴△ABE≌△APM(SAS)，∴∠APM＝∠ABC＝60°，
∴∠APC＝120°＝∠DEC，
如图，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，
∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，
∴∠CDE＝180°－∠BDE－∠ADC＝180°－60°－∠DAC＝120°－∠DAC，
在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠DAC＝120°－∠DAC＝∠CDE，
∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，
∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC(ASA)，∴MQ＝CD，
∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM(AAS)，
∴CP＝MP，∴CM＝MP＋CP＝2DE；
(3)如图，在MC上取一点P，使PM＝DE，
由(2)知，MC＝2CP＝2DE，由(2)知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，
∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，
∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE＋PE＋CP＝DE＋PE＋DE＝2DE＋AD＝MC＋AD，
过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，
在Rt△ABH中，，
在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，
∴∠CAH＝90°－∠ACB＝45°＝∠ACB，
∴CH＝AH＝，，
∵MC＋AD＝BC＝BH＋CH＝，∴MC＋AD＝AC．
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，
(1)求证：CF＝BG；
(2)延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP＋CF；
(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．
【解答】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【解析】(1)证明，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，
∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
∵，∴△BCG≌△CAF(ASA)，∴CF＝BG；
(2)∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，
∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，
∵∠PCG＝∠PCA＋∠ACG＝∠CAG＋45°＝∠CBE＋45°，∠PGC＝∠GCB＋∠CBE＝∠CBE＋45°，
∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，
∵PB＝BG＋PG，BG＝CF，∴PB＝CF＋CP；
(3)如图，过E作EM⊥AG，交AG于M，
∵S△AEG＝AG•EM＝，
由(2)得△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝，EM＝，
设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，
∵∠ACH＝45°，∴2x＋x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，
在Rt△AEM中，AE＝2EM＝，，
∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝，∴BE＝BG＋EG＝6＋ ，
在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝，∴AC＝AE＋EC＝．
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