2022-2023学年湖南省长沙市县第二中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省长沙市县第二中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.                                                                                           参考答案： A 2. 在△ABC中，若a = 2 ,, , 则B等于  （      ） A．   B．     C．或          D．或 参考答案： C 略 3. 若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是(    ) A.      B.     C.      D. 参考答案： A 4. 已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】椭圆的定义． 【分析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程． 【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0）， ∴|F1F2|=2， ∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项， ∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|， 即|PF1|+|PF2|=4， ∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上， ∵2a=4，a=2 c=1 ∴b2=3， ∴椭圆的方程是 故选C． 5. 已知，且为纯虚数，则等于          A．           B．           C． 1            D． -1 参考答案： D 略 6. 圆，圆，若圆与两圆均外切，则圆心的轨迹是 A. 双曲线的一支         B.一条直线              C.椭圆         D.双曲线 参考答案： A 7. 在极坐标系中,已知点,则过点P且平行于极轴的直线的方程是(    ) A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 将点化为直角坐标的点，求出过点且平行于轴的直线的方程，再转化为极坐标方程，属于简单题。 【详解】因为点的直角坐标为，此点到轴的距离是，则过点且平行于轴的直线的方程是，化为极坐标方程是 故选A. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。 8. 设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是（       ） A.           B.        C. a>b 2       D.a2>2b 参考答案： C 9. 下列命题中正确命题的个数是                                    (    ) ①         ② ③                ④ A．1          B．2          C．3          D．4 参考答案： C 10. 与原点及点的距离都是1的直线共有   A.4条          B. 3条            C. 2 条         D. 1条 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 执行如图所示的算法流程图，则最后输出的S的值为_________. 参考答案： 8. 【分析】 根据流程图，依次计算与判断，直至终止循环，输出结果. 【详解】执行循环：结束循环，输出 12. 经过两点，的椭圆的标准方程为__________． 参考答案： 解：设方程为，代入，得，， 解得，， 故方程为． 13. 等差数列中，前项的和为77（为奇数），其中偶数项的和为33，且，求这个数列的通项公式． 参考答案： 解答：．   略 14. 将y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位得到函数y=2sinx（sinx﹣cosx）﹣1的图象，则φ=　　． 参考答案： 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【解答】解：将y=sin（2x+）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位得到y=sin（2x﹣2φ+）的图象， 根据题意，得到函数y=2sinx（sinx﹣cosx）﹣1=2sin2x﹣sin2x﹣1=﹣sin2x﹣cos2x=﹣sin（2x+）=sin（2x+）的图象， ∴﹣2φ+=+2kπ，k∈Z，即 φ=﹣kπ﹣，∴φ=， 故答案为：． 15. 现有如下四个命题： ①若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分 ②设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点 P(x,)的轨迹是抛物线的一部分 ③已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆 ④已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线 上述四个命题中真命题为　  　．（请写出其序号） 参考答案： ①②③ 【考点】曲线与方程． 【分析】利用直译法，求①选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项②中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项③中动点的轨迹； 利用椭圆定义，由定义法判断④中动点的轨迹即可． 【解答】解：设P（x，y），因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的斜率分别是k1=，k2=，∴，化简得9y2=4x2﹣64，即（x≠±4）， ∴动点P的轨迹为双曲线的一部分，①正确； ∵m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，∴=2，设P（x，y），则y=2，即y2=4ax（x≥0，y≥0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，②正确； 由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切 ∴MA=r+1，MB=5﹣r ∴MA+MB=6＞AB=2 ∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，③正确； 设此椭圆的另一焦点的坐标D （x，y）， ∵椭圆过A、B两点，则 CA+DA=CB+DB， ∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB， ∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，④错误 故答案为：①②③． 16. 已知三角形的三边满足条件，则∠A＝_________。 参考答案： 略 17. 某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是                   . （请用分数表示结果）   参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）实数m为何值时，复数z=(m2+5m+6)+（m2-2m-15）i 对应的点在： （1）x轴上方； （2）直线x+y+5=0上. 参考答案： (1)若复数Z对应的点在x轴上方，则m2-2m-15>0,解得m<－3或m>5（6分）. (2)复数z对应的点为（m2+5m+6，m2-2m-15），∵z对应的点在直线x+y+5=0上，∴（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+5=0，整理得2m2+3m-4=0，解得m=（-3±）×    （12分）. 略 19. 已知函数f（x）=|x-1|+|x-m|． （1）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集； （2）若不等式f（x）≥2m-1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）当时，化简不等式为，去掉绝对值符号，求解不等式即可； （2）利用绝对值不等式的几何意义，要使不等式恒成立，推出，即可求解． 【详解】（1）当m=3时，原不等式可化为|x-1|+|x-3|≥5． 若x≤1，则1-x+3-x≥5，即4-2x≥5，解得； 若1＜x＜3，则原不等式等价于2≥5，不成立； 若x≥3，则x-1+x-3≥5，解得．综上所述，原不等式的解集为：． （2）由不等式的性质可知f（x）=|x-1|+|x-m|≥|m-1|， 所以要使不等式f（x）≥2m-1恒成立，则|m-1|≥2m-1， 所以m-1≤1-2m或m-1≥2m-1，解得，所以实数m取值范围是． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的恒成立问题，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理利用绝对值的几何意义，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 20. 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn=（an+）， （1）求a1，a2，a3； （2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 参考答案： 【考点】F1：归纳推理；RG：数学归纳法． 【分析】（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3． （2）由（1）猜想数列{an}的通项公式：，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 【解答】解：（1）易求得； （2）猜想 证明：①当n=1时，，命题成立  ②假设n=k时，成立， 则n=k+1时， ==， 所以，，∴． 即n=k+1时，命题成立． 由①②知，n∈N*时，． 21. 设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a、b的值； (2)讨论函数f(x)的单调性              （12分）． 参考答案：   [解析]　∵y＝，∴y′＝－. (1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在P(1,1)点导数． 即k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2. (2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上． 则可设过该点的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f′(a)＝. 则切线方程为y－＝－(x－a)．① 将Q(1,0)坐标代入方程：0－＝(1－a)． 解得a＝，代回方程①整理可得： 切线方程为y＝－4x＋4. (3)设切点坐标为A，则切线斜率为k＝－＝－，解得a＝±，那么A， 略 22. （本题满分12分）已知函数在与x=1时都取得极值， （1）求的值 ； （2）求函数的单调区间 ； （3）若对，不等式恒成立，求实数c的取值范围. 参考答案：