重庆新胜中学高三数学理期末试题含解析

重庆新胜中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 命题“若x=1，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（　　） A．若x≠1，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=1 C．若x2﹣3x+2=0，则x≠1 D．若x2﹣3x+2≠0，则x≠1 参考答案： D 【考点】25：四种命题间的逆否关系． 【分析】根据逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题 【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x2﹣3x+2≠0，则x≠1 故选：D 2. 样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（　　） 　A、　　B、　　C、　　D、2 参考答案： D 3. 已知不共线向量满足，且关于的函数 在实数集R上是单调递减函数，则向量的夹角的取值范围是 （    ）        A．        B．         C．         D．  参考答案： D 略 4. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A．      B．      C．       D．      参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12 【答案解析】D  解析：由知，所以在上是增函数，所以，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以正确.故选 【思路点拨】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论． 5. 已知向量，若，则k等于 A.6 B.—6 C.12 D.—12 参考答案： C   因为，所以，即，所以，解得，选C. 6. 若复数z满足，则|z|=（     ） A. 5 B. C. 2 D. 参考答案： B 【分析】 根据复数的运算，化简求得，再利用模的计算公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，复数满足，则， 所以，故选B. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中复数的运算法则，以及复数模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7. 已知,分别是双曲线:()的左右两个焦点,若在双曲线上存在点使,且满足,那么双曲线的离心率为(    ) A.             B. 2             C.             D. 参考答案： A 8. “函数在区间（0，＋∞）上为增函数”是“a=3”的（   ） A．充分不必要条件               B．必要不充分条件 C．充要条件                     D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 9. 已知等差数列和等比数列的各项都是正数，且，，那么一定有  （    ）     A．   B．     C．     D． 参考答案： D 略 10. 等比数列{an}各项为正，成等差数列，Sn为{an}的前n项和，则（   ） A. 2 B. C. D. 参考答案： D 【分析】 设的公比为q（q≠0，q≠1），利用a3，a5，﹣a4成等差数列结合通项公式，可得2a1q4＝a1q2﹣a1q3，由此即可求得数列的公比，进而求出数列的前n项和公式，可得答案． 【详解】设的公比为， ∵，，成等差数列， ∴，，， ∴，得或（舍去）， ∴. 故选D. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设随机变量的概率分布律如下表所示： 其中，，成等差数列，若随机变量的的均值为，则的方差为___________． 参考答案： 12. 已知x∈[﹣1，1]，则方程2﹣|x|=|cos2πx|所有实数根的个数为        ． 参考答案： 7 考点：余弦函数的图象． 专题：数形结合；函数的性质及应用． 分析：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=|cos2πx|的图象，根据图象交点的个数，可得方程解的个数． 解答： 解：在同一坐标系内作出函数f（x）=2﹣|x|，g（x）=|cos2πx|的图象如下： 根据函数图象可知，图象交点的个数为7个 ∴方程2﹣|x|=|cos2πx|所有实数根的个数为7个 故答案为：7． 点评：本题考查方程解的个数，考查函数图象的作法，考查数形结合的数学思想，属于中档题． 13. 在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：                          . 参考答案： 正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值 略 14. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影票全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票连号，那么不同的分法种数是     ． 参考答案： 96   略 15. 已知点P（x，y）满足，的取值范围是　　． 参考答案： [，2] 【考点】简单线性规划． 【分析】首先画出平面区域，利用的几何意义是可行域内的点到C（﹣1，﹣2）的斜率，只要求出斜率的最值即可． 【解答】解：由已知对应的平面区域如图； 而的几何意义为可行域内的点到C（﹣1，﹣2）的斜率，当与O连接是直线的斜率最大，与B（4，0）连接时，直线的斜率最小，所以，，所以，的取值范围是[，2]； 故答案为：[，2]． 16. 过动点作圆：的切线，其中为切点，若(为坐标原点)，则的最小值是 . 参考答案： 17. 已知向量，满足||=1，|﹣|=，与的夹角为60°，||=         ．  参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形． （1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1； （2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1． 参考答案： 考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1⊥平面BCC1B1； （2）根据线面平行的判定定理进行证明即可． 解答： 解：（1）因三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形， 故B1C⊥BC1．…2分 又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线， 故B1C⊥平面ABC1．…5分 因B1C?平面BCC1B1， 故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分 （2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE． 又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB． 因DF?平面ABC1，AC1?平面ABC1， 故DF∥面ABC1．…10分 同理，EF∥面ABC1． 因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线， 故平面DEF∥面ABC1．…12分 因DE?平面DEF， 故DE∥面ABC1．…14分． 点评： 本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键． 19. 某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况．现委托某工厂生产500个机器人模型，并对生产的机器人进行编号：001，002，……，500，采用系统抽样的方法抽取一给容量为50个机器人样本．试验小组对50个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题： 分组 机器人数 频率 [50，60)   0.08 [60，70) 10   [70，80) 10   [80，90)     [90，100] 6   （1）补全频率分布表，画出频率分布直方图； （2）若随机抽的号码为003，这500个机器人分别放在A，B，C三个房间，从001到200在A房间，从201到355在B房间，从356到500在C房间，求B房间被抽中的人数是多少？ （3）从动作个数不低于80的机器人中随机选取2个机器人，该2个机器人中动作个数不低于90的机器人数记为，求的分布列与数学期望． 参考答案： 1）见解析，（2）16，（3）． （1）频率分布直方图及频率分布表中的部分数组如图所示，请据此回答如下问题： 分组 机器人数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 10 0.2 [70，80) 10 0.2 [80，90) 20 0.4 [90，100] 6 0.12 ·········4分 （2）系统抽样的分段间隔为＝10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个抽到一个，则被抽中的机器人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20个，在201至355号中共有16个．··························6分 （3）该2个机器人中动作个数不低于90的机器人数记为，的取值为0，1，2，··7分 所以，，， 所以的分布列 0 1 2 P ················11分 数学期望．·····························12分 20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且与直线x+2y﹣4=0相切． （1）求椭圆E的方程； （2）若椭圆E与x轴交于M、N两点，椭圆E内部的动点P使|PM|、|PO|、|PN|成等比数列，求?的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆E： +=1（a＞b＞0）与直线x+2y﹣4=0相切，联立， 由△=0，可得…①，由椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（，1），∴…②，由①②得a2，b2 （2）设P（m，n），由|PO|2=|PN|?|PM|?（m2+n2）2=?m2=n2+2， ∴=2n2﹣2，由n的范围求得其范围， 【解答】解：（1）∵椭圆E： +=1（a＞b＞0）与直线x+2y﹣4=0相切，联立， 整理得（）x2﹣2a2x+4a2﹣a2b2=0， 由△=0，可得…① ∵椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（，1），∴…② 由①②得a2=4，b2=2．∴椭圆E的方程：． （2）由（1）得M（﹣2，0））、PN（2，0），设P（m，n） ∵|PM|、|PO|、|PN|成等比数列， ∴|PO|2=|PN|?|PM|?（m2+n2）2= ?m2=n2+2，…③ ∵，∴=2n2﹣2 ∵P在椭圆E内部，∴0≤n2＜1， ∴．即?的取值范围为[﹣2，0） 21. 如图，已知与圆相切于点，，交与点.        （I）求证：=；        （II）若圆的半径为3，，求的长. 参考答案： 证明：（1）可证：;            (2). 略 22. 如图，在多面体EF﹣ABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD； （Ⅱ）若BC=CD=CE=AB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空